Vai participar dos concursos e quer saber um pouquinho mais de física? Vem com a gente! Confira esse artigo que o Estratégia Militares preparou para você sobre a Cinemática Vetorial.
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Cinemática Vetorial: Vetor Deslocamento
Vetor posição: Se uma partícula descreve uma trajetória qualquer no espaço, sua localização é definida pelo vetor posição. Define-se vetor posição (𝑠⃗) de um ponto 𝑃 em relação a um referencial 𝑂, o vetor que liga a origem em 𝑂 à extremidade em 𝑃.
Para facilitar as contas e entendimento, escolhemos um sistema de coordenadas triortogonal 𝑂𝑥𝑦𝑧, onde o referencial está em 𝑂.
Dessa forma, podemos escrever o vetor 𝑠⃗ das seguintes formas:
𝑠⃗ = 𝑠𝑥. 𝑖̂+ 𝑠𝑦𝑗̂+ 𝑠𝑧𝑘̂ = (𝑠𝑥, 𝑠𝑦, 𝑠𝑧)
⃗ = 𝑠⃗⃗⃗𝑥⃗ + 𝑠⃗⃗⃗𝑦⃗ + 𝑠𝑧 ⃗⃗
De acordo com a geometria dos vetores, vale a relação entre os módulos:
𝑠 2 = 𝑠𝑥 2 + 𝑠𝑦 2 + 𝑠𝑧 2
Vetor deslocamento: Uma partícula se desloca ao longo de uma trajetória curvilínea no espaço. Ela passa por A no instante 𝑡1 e por B no instante 𝑡2 . O vetor posição do ponto A é 𝑝1 ⃗⃗⃗⃗ e do ponto B é 𝑝2 ⃗ ⃗. Assim, podemos representar o deslocamento de A a B e o vetor deslocamento da seguinte forma:
Como já visto anteriormente, escrevemos o deslocamento do móvel da seguinte forma:
Δ𝑠 = 𝑠𝐵 − 𝑠𝐴
Na cinemática vetorial definimos a variação do vetor posição (ou vetor deslocamento) de forma análoga:
Δ𝑝⃗ = 𝑝2 ⃗ ⃗ − 𝑝1
Da geometria, podemos notar que:
|Δ𝑝⃗| ≤ |Δ𝑠|
A igualdade ocorre quando a trajetória é retilínea:
Neste caso, temos que:
|Δ𝑝⃗| = |Δ𝑠|
Cinemática Vetorial: Velocidade Vetorial Média
Após definirmos o vetor deslocamento, podemos definir a velocidade vetorial média, quando o vetor posição varia de A para B em um dado intervalo de tempo, por meio da seguinte fórmula:
𝑣⃗𝑚=Δ𝑝⃗Δ𝑡
Devido ao fato do Δ𝑡 ser um número real e sempre positivo, podemos afirmar que 𝑣⃗𝑚 e Δ𝑝⃗ possuem o mesmo sinal.
A partir disso, podemos encontrar quem tem maior módulo entre as velocidades:
|Δ𝑝⃗| ≤ |Δ𝑠|
Dividindo a equação por Δ𝑡, lembrando que Δ𝑡 é sempre positivo, vemos:
|Δ𝑝⃗| Δ𝑡 ≤ |Δ𝑠| Δ𝑡
Portanto:
|𝑣⃗𝑚| ≤ |𝑣𝑚|
Isso mostra que: “o módulo da velocidade vetorial média é sempre menor ou igual ao módulo da velocidade escalar média.”
Notamos que, quando a trajetória é retilínea, |Δ𝑝⃗| = |Δ𝑠|, o módulo da velocidade vetorial média (𝑣⃗𝑚) é igual ao módulo da velocidade escalar média.
Um corpo move-se com velocidade escalar constante descrevendo uma trajetória circular de raio 30 m, levando 18 segundos para completar uma volta. Em um intervalo de
Δ𝑡 = 3,0 𝑠, determine os módulos:
- da variação do espaço do móvel;
- do vetor deslocamento;
- da velocidade escalar média; e
- da velocidade vetorial média.
Cinemática Vetorial: Velocidade Vetorial Instantânea
Semelhante à velocidade escalar instantânea, definimos a velocidade vetorial instantânea (𝑣⃗) como:
Dessa forma, para calcular 𝑣⃗ quando ela passa por um ponto P, devemos tomar outro ponto Q da trajetória, fazer o deslocamento entre P e Q e fazer Q tender a P.
Assim, percebemos que quando fazemos Q tender a P, a direção de Δ𝑝⃗ aproxima-se da direção da reta tangente à trajetória no ponto P. Assim, a direção da velocidade vetorial instantânea é a da reta tangente à trajetória no ponto em questão e o sentido será o mesmo do movimento do móvel.
É importante notarmos que quando Δ𝑡 → 0 (lê-se “intervalo de tempo tende à zero”), o módulo da variação do espaço tende ao módulo do vetor deslocamento, ou seja, |Δ𝑠| → |Δ𝑝⃗|. Portanto, no limite temos que:
Este resultado mostra que: “O módulo da velocidade vetorial instantânea é igual ao módulo da velocidade escalar instantânea.”
<br>Não podemos confundir a conclusão efetuada anteriormente no caso das velocidades médias
(|𝑣⃗𝑚| ≤ |𝑣𝑚|).
As características da velocidade vetorial instantânea são:
1) Direção: a mesma da reta tangente com relação à trajetória no ponto considerado;
2) Sentido: o mesmo do movimento;
3) Igual ao módulo da velocidade escalar instantânea.
Observações:
1) Em muitos casos, menciona-se velocidade vetorial e não se especifica se ela é média ou instantânea. Nesses casos, admite-se ser instantânea.
2) Quando apenas diz velocidade, sem mencionar qualquer outra informação, admite-se ser a vetorial.
A Velocidade Vetorial Em Movimentos Particulares
Movimento retilíneo uniforme (MRU)
Devido ao fato da trajetória ser retilínea, a direção da velocidade vetorial não muda. Assim, 𝑣⃗ sempre terá o mesmo módulo e o mesmo sentido.
Assim, podemos escrever que:
|𝑣⃗1 | = |𝑣⃗2 | ⇒ 𝑣⃗1 = 𝑣⃗2
Então, dizemos que a velocidade vetorial é constante no MRU.
Movimento circular e uniforme (MCU)
É fácil notar que a velocidade vetorial nesse tipo de movimento não é constante, uma vez que estamos mudando de direção a cada instante. Entretanto, apenas o módulo da velocidade é constante. Dessa forma, embora o movimento seja uniforme, dizemos que a velocidade vetorial é variável – pois muda direção-, embora o módulo permaneça constante.
𝑣⃗1 | = |𝑣⃗2 |, 𝑚𝑎𝑠 𝑣⃗1 ≠ 𝑣⃗2
Movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV)
Devido ao fato da trajetória ser retilínea, sabemos que a direção do movimento não é alterada, entretanto, como existe aceleração, o módulo da velocidade vetorial se altera:
|𝑣⃗1 | ≠ |𝑣⃗2 | ⇒ 𝑣⃗1 ≠ 𝑣⃗2
Movimento circular uniformemente variado
Nesse tipo de movimento tanto o módulo quanto a direção da velocidade vetorial se alteram.
𝑣⃗1 | ≠ |𝑣⃗2 | ⇒ 𝑣⃗1 ≠ 𝑣⃗2
Aceleração Vetorial Média
Se um partícula, realizando uma trajetória qualquer no espaço, ao passar por 𝑃1 tem velocidade vetorial 𝑣⃗1 e ao passar por 𝑃2 tem velocidade vetorial 𝑣⃗2 , então, a aceleração vetorial média 𝑎⃗𝑚 entre estes dois instantes é definida por:
Exercício
Uma partícula descreve um MCUV, tal que no primeiro instante sua velocidade é 𝑣⃗1 e em um segundo instante sua velocidade é 𝑣2 ⃗ ⃗. Dado que |𝑣⃗1 | = 6,0 𝑚/𝑠 e |𝑣⃗2 | = 8 𝑚/𝑠, como na figura abaixo, determine o módulo da aceleração vetorial, se a partícula levou 4 segundos para ir de realizar este percurso. Adote: 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0,6.
Comentários: A partir da definição, devemos encontrar quem é o módulo da variação da velocidade vetorial:
|Δ𝑣⃗| = |𝑣⃗2 − 𝑣⃗1 |
Geometricamente:
(FEI-SP) A velocidade 𝑣⃗ de um móvel, em função do tempo, acha-se representada pelo diagrama vetorial da figura. A intensidade da velocidade inicial é 𝑣0 = 20 𝑚/𝑠. Determine o módulo da aceleração vetorial média entre os instantes 𝑡 = 0 e 𝑡 = 8 𝑠.
Comentários: Novamente, temos que determinar o módulo da variação da velocidade vetorial entre os instantes 𝑡 = 0 e 𝑡 = 8 𝑠:
Aceleração Vetorial Instantânea
Relembrando da cinemática escalar definimos a aceleração escalar instantânea (𝑎) como o
limite da variação da velocidade escalar quando o tempo tende a zero, isto é:
Para a aceleração vetorial instantânea (𝑎⃗) por:
Dessa forma, dizemos que um corpo está em repouso ou em movimento retilíneo uniforme se 𝑎⃗ = 0, pois, neste caso teremos que 𝑣⃗ é constante. Este resultado é muito importante no estudo de Dinâmica, assunto das nossas próximas aulas.
A partir de agora, vamos estudar algumas curvas particulares que frequentemente aparecem em questões dos nossos vestibulares.
Trajetória retilínea
Para o caso da trajetória retilínea, o vetor 𝑎⃗ tem a mesma direção da trajetória e o módulo igual ao módulo da aceleração escalar. Se o movimento for acelerado (𝑎. 𝑣 > 0), 𝑎⃗ tem o mesmo sentido de 𝑣⃗. Por outro lado, se o movimento for retardado (𝑎. 𝑣 < 0), 𝑎⃗ tem sentido contrário ao de 𝑣⃗.
Trajetória curva
Para o caso da trajetória curva qualquer, verifica-se que aceleração do corpo 𝑎⃗ “aponta para dentro da curva”, como na figura 8. Trata-se, pois, de uma composição de duas acelerações: a aceleração tangencial (𝑎⃗𝑡 ) na qual sua direção é tangente a trajetória e a aceleração centrípeta ou aceleração normal (𝑎⃗𝑐 ), na qual sua direção é normal a trajetória.
Vetorialmente, temos que:
A relação entre os módulos pode ser obtida pelo teorema de Pitágoras:
Pode-se demonstrar que a aceleração tangencial tem módulo igual ao módulo da aceleração escalar, isto é:
Dessa forma, se 𝑎𝑒 = 0, em outras palavras um movimento uniforme, então 𝑎⃗𝑡 = 0
Portanto, a aceleração tangencial está vinculada à variação do módulo da velocidade linear 𝑣⃗ mas não muda a sua direção. O sentido de 𝑎⃗𝑡 é o mesmo da velocidade vetorial instantânea 𝑣⃗, se o movimento for acelerado, e contrário ao de 𝑣⃗, se o movimento for retardado.
É possível demonstrar que a aceleração centrípeta (𝑎⃗𝑐 ) é dada por:
Onde 𝑣 é o módulo da velocidade e 𝑅 é o raio de curvatura da trajetória.
Se a trajetória é circular, o raio de curvatura é o próprio raio da circunferência. Para o caso da trajetória não ser uma circunferência, é possível obter uma circunferência tangente à trajetória, chamada de circunferência osculadora.
Dessa forma, o raio é o raio de curvatura a ser usado no cálculo do módulo de 𝑎⃗𝑐 , que aponta para o centro da circunferência osculadora. Esse é um método para calcular o raio de curvatura de uma trajetória, sem utilizar os recursos do Cálculo.
Texto escrito com base nos conteúdos do professor Toni Burgatto
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