Se você está estudando para os concursos militares, fique ligado nos resumos que o Estratégia Militares preparou sobre os assuntos mais cobrados nos seletivos! Neste artigo de física, vamos terminar de explicar a cinemática escalar.
Se você não viu a introdução, basta clicar aqui!
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Cinemática Escalar: Função horária do espaço
Se um ponto material está em movimento em relação a certo referencial, à medida que o
tempo transcorre, o espaço do móvel varia. Assim, a função horária do espaço é a função que relaciona os espaços s de um móvel com os correspondentes instantes t.
Dessa forma, conhecer a função horária do espaço é muito importante, pois, se conhecemos a função horária, podemos determinar o espaço do móvel para cada instante de tempo.
Vamos analisar dois exemplos:
1) s(t) = 20 − 5t (para s em metros e t em segundos)
t = 0 ⇒ s(0) = 20 − 5.0 = 20m
t = 1s ⇒ s(1) = 20 − 5.1 = 15m
t = 2s ⇒ s(2) = 20 − 5.2 = 10m
t = 3s ⇒ s(3) = 20 − 5.3 = 5m
t = 4s ⇒ s(4) = 20 − 5.4 = 0
t = 5s ⇒ s(5) = 20 − 5.5 =− 5m
2) s(t) = 2 + 4t − t2
(SI)
t = 0 ⇒ s(0) = 2 + 4.0 − 02 = 2m
t = 1s ⇒ s(1) = 2 + 4.1 − 12 = 5m
t = 2s ⇒ s(2) = 2 + 4.2 − 22 = 6m
t = 3s ⇒ s(3) = 2 + 4.3 − 32 = 5m
t = 4s ⇒ s(4) = 2 + 4.4 − 42 = 2m
Observe que t = 0 é chamado de origem dos tempos, definindo o momento do disparo do
cronômetro do observador.
Se não conhecemos a função horária e conhecemos o espaço para cada instante de tempo,
podemos determinar a função horária e a partir dela determinar o espaço para outros instantes.
Como exemplo, vamos supor a seguinte relação de tempo e de espaço:
| TEMPO (S) | ESPAÇO (M) |
|---|---|
| 0 | 10 |
| 1 | 9 |
| 2 | 8 |
| 3 | 7 |
De acordo com os dados fornecidos, podemos concluir que a função horária do espaço é
definida por:
s(t) = 10 − t
Neste momento, não estamos preocupados com a matemática necessária para chegar nesse resultado, apenas nos conceitos físicos. Futuramente, desenvolveremos todos os cálculos detalhadamente, mas não é difícil verificar que a relação do espaço-tempo é dada por aquela função do primeiro grau.
Se quisermos saber em qual instante corresponde ao s = 1m, basta resolvermos a seguinte
equação:
s(t) = 1 ⇒ 10 − t = 1 ⇒ t = 9s
Cinemática Escalar: Variação de espaço e distância percorrida
Um erro comum entre os alunos é misturar os conceitos de Variação de Espaço e Distância
Percorrida. Vejamos, de início, a definição de Variação de Espaço.
Variação do espaço
Seja s1 o espaço de um móvel num instante t1 e s2 seu espaço num instante t2. A variação do espaço (Δs) num intervalo de tempo Δt = t2 − t1, é definido como:
Δs = s2 − s1
Observações:
Se s2 > s1, então Δs > 0 e dizemos que o móvel se movimenta no sentido positivo da trajetória, aumentando o seu espaço.
Se s2 < s1, então Δs < 0 e dizemos que o móvel se movimenta no sentido negativo da
trajetória, diminuindo seu espaço.
Se s2 = s1, então Δs = 0, isto é, o corpo não se move ao longo da trajetória.
Observação: em Física, usamos a letra grega maiúscula delta (Δ) , seguida de uma grandeza, para indicar a variação dessa, isto é, calculamos a diferença entre os valores finais e iniciais desta grandeza.
Cinemática Escalar: Distância percorrida
Definimos a distância percorrida por um móvel como a soma dos módulos das variações de
espaço em cada sentido do movimento.
Vamos tomar um exemplo para ilustrar essa definição: um corpo vai de s1 = 20 km até s2 =
80km e depois retorna a s3 = 40km, assim temos que:
t1 → t2: Δs1→2 = s2 − s1 = 80 − 20 = 60km
t2 → t3: Δs2→3 = s3 − s2 = 40 − 80 =− 40km
t1 → t3: Δs1→3 = s3 − s1 = 40 − 20 = 20km
Note que Δs1→3 = s3 − s1 = s3 − s2 + s2 − s, = Δs1→2 + Δs2→3 = 60 + − 40 = 20km
A partir da definição, temos que a distância percorrida é:
d = Δs1→2+ Δs2→3 = 60 + − 40 = 60 + 40 = 100km.
Exercício:
(Livro Física Clássica modificada)
Uma pessoa parte da posição A e atinge a posição B percorrendo a trajetória indicada na figura. O lado de cada quadradinho representa uma distância de 100m. Qual a distância, em
quilômetros, que a pessoa percorre? Qual foi o módulo da variação de espaço da pessoa?
Para calcular a distância percorrida, devemos calcular o módulo do deslocamento de cada
trecho. Primeiro trecho são 5 quadradinhos, logo, ele se deslocará 5 x 100 = 500m. Em
seguida, ela desloca-se 2 quadradinhos para a vertical. Então, ela desloca 2 x 100 = 200m.
Finalmente, ela faz um deslocamento inclinado, formando a hipotenusa de um triângulo
retângulo. Logo, pelo teorema de Pitágoras, temos: a2 = 32 + 42 = 25 ⇒ a = 5. Esse triângulo
é famoso e seus semelhantes também. Logo, nesse trecho a pessoa andou
5 x 100 = 500m.
Portanto, a distância percorrida (d) pela pessoa foi:
d = 500 + 200 + 500 = 1200m ⇒ d =1,2km.
Para calcularmos a variação de espaço da pessoa, devemos pegar o módulo da variação de espaço entre A e B, isto é, ΔsA→B = sb − sa. Dado que eles não estão no mesmo plano,
precisamos realizar um tratamento vetorial. Mas como estamos apenas preocupados com o
ΔsA→B precisamos apenas calcular a hipotenusa do triângulo abaixo:
Pelo teorema de Pitágoras, temos que: ΔsA→B2= 12 + 52 = 26 ⇒ ΔsA→B = 26.
Portanto, o módulo da variação de espaço da pessoa foi 10026m.
Relação entre M/S E KM/H
Diante da relação entre metros e quilômetros, segundos e horas, pode-se escrever uma relação entre as unidades e isto é fundamental para resolução de questões dos vestibulares, pois é comum misturar as unidades. Vamos ver como transformar as unidades:
1kmh = 1000m3600s = 1m3,6s ou 1ms = 3,6kmh
Diante desse resultado, notamos que cada 1m/s corresponde a 3,6km/h. Portanto:
ms kmh 3,6
ms kmh 3,6
Exemplos:
- 10m/s = 10 x 3,6km/h = 36km/h;
- 72km/h = 72/3,6 = 20m/s.
Velocidade escalar média
Considerando a variação de espaço de um ponto material dada por Δs = s2 − s1, durante
o intervalo de tempo Δt = t2 − t1. Define-se velocidade escalar média (vm), no intervalo de tempo Δt, como o quociente entre a variação de espaço e o correspondente intervalo de tempo:
vm = ΔsΔt
Nota-se que Δt é sempre positivo. Por isso, concluímos que o sinal de vm é o mesmo de Δs:
Se Δs > 0 ⇒ vm > 0;
Se Δs < 0 ⇒ vm < 0;
Se Δs = 0 ⇒ vm = 0.
No SI, a unidade de velocidade escalar é o metro por segundo (m/s). Geralmente, surge a
necessidade de transformar a unidade de cm/s ou km/h para m/s, conforme a relação vista no item anterior.
Naturalmente, carregamos desde cedo a noção de velocidade escalar média. Por exemplo,
em uma viagem, quando um móvel percorre 200 km em 2 horas, rapidamente dizemos que ele percorreu, em média, 100 km a cada hora. Assim, afirmamos que a velocidade escalar média foi de 100km/h.
Note que não podemos afirmar que necessariamente o móvel percorreu nessa velocidade durante o deslocamento. Ele pode ter andado 110 km na primeira hora e 90 km na segunda hora, mas, na média, ele andou 100 km a cada hora.
Dessa forma, surge, naturalmente, a vontade de determinar essa velocidade a cada instante
e, para isso, precisa-se de uma ferramenta matemática mais forte: a derivada.
Confira um exercício para exemplificar esse conceito!
(Fuvest 2008) Dirigindo-se a uma cidade próxima, por uma autoestrada plana, um motorista estima seu tempo de viagem, considerando que consiga manter uma velocidade média de 90km/h. Ao ser surpreendido pela chuva, decide reduzir sua velocidade média para 60Km/h, permanecendo assim até a chuva parar, quinze minutos mais tarde, quando retoma sua velocidade média inicial. Essa redução temporária aumenta seu tempo de viagem, com relação à estimativa inicial, em:
a) 5 min
b) 7,5 min
c) 10 min
d) 15 min
e) 30 min
Inicialmente, o móvel iria a 90km/h, mas durante um intervalo de tempo de 15 min (que corresponde a 1⁄4 de hora), ele anda a 60 km/h por causa da chuva. Então para ver a diferença de tempo causado por essa chuva, basta vermos quanto ele andou durante esse tempo e calcular quanto seria o tempo caso ele não tivesse esse imprevisto. Dessa forma, temos que:
vchuva = Δs chuvaΔt chuva 60 = Δs chuvaΔt chuva Δschuva = 60. 14 = 15km
Tempo para deslocar 15km sem chuva:
vnormal = Δs chuvaΔt chuva 90 = 15Δt normal Δtnormal = 1590 = 16 h = 20 min
Logo, a diferença dos tempos é de 5 min.
Resposta: A
Cinemática Escalar: Velocidade escalar instantânea
Como vimos anteriormente, a velocidade escalar média nos dá uma ideia geral do móvel ao
longo de todo movimento. Se um móvel tem uma velocidade escalar média de 100 km/h, isto não implica dizer que ele andou nessa velocidade em cada instante. Nós apenas estamos dizendo que, em média, o automóvel andou 100 km a cada hora.
É comum, entretanto, estarmos interessados na velocidade escalar em cada instante. Por isso, definiremos o conceito de velocidade escalar instantânea.
Vamos analisar o seguinte exemplo: imagine que dois agentes de trânsito são encarregados de medir a velocidade com que os motoristas trafegam em uma avenida.
Colocamos os dois separados, inicialmente, com um Δs e quando o carro passa pelo primeiro agente, este dispara o cronômetro e quando ele passa pelo segundo agente, o cronômetro é pausado. Definida a variação de espaço Δs e a variação de tempo Δt, podemos calcular a velocidade escalar média do carro, mas essa velocidade pode não ser condizente com a maior velocidade atingida pelo condutor.
O condutor pode ter visto de longe o segundo agente e freou o carro, fazendo uma velocidade mais alta no primeiro trecho e uma velocidade bem mais baixa no segundo trecho. Isso é possível porque a distância entre os agentes é grande. Para tirar essa possibilidade de frenagem, nós aproximamos os dois agentes.
Com isso, diminuirá também o intervalo de tempo gasto pelo motorista. E quando os agentes fizerem a razão ΔsΔt, essa velocidade tenderá ao real valor do motorista naquele instante.
Cada vez que o segundo agente se aproximar do primeiro, os registros de intervalos de tempos serão menores e mais próximo se estará da velocidade no instante em que o móvel passa pelo primeiro agente.
Dessa forma, fazendo uma abstração matemática, dizemos que quando o intervalo de tempo do móvel, para percorrer a variação de espaço, tende a zero, nós estamos aproximando a velocidade escalar média da velocidade escalar instantânea. Na linguagem matemática, dizemos que:
vnormal = limΔt 0 vm v = limΔt 0 ΔsΔt
Ao limite de ΔsΔt quando Δt tende a zero recebe o nome de derivada do espaço em relação ao tempo e indica-se por dsdt. Dessa forma, podemos reescrever a equação da velocidade escalar instantânea como:
v= dsdt
Escrever dsdt é apenas uma representação matemática da derivada, não podemos confundir
com a álgebra e fazer dsdt =st já que existe d em cima e em baixo. Não é isso o significado de derivada.
Exemplos:
- Vamos calcular a velocidade escalar instantânea para a seguinte função horária do espaço
s (t) = 6 + 4t + 3t² (SI).
Aplicando a regra do tombo para cada parte da função s(t):
v(t)= dsdt = 0 + 1.4.t1-1 + 2.3.t 2-1 = 4+6t (st)
- Sendo s = 5 − 5t + t² a equação horária do espaço, em unidades SI, pede-se o instante em que a velocidade se anula.
Resolução: Aplicando o conceito de derivada, utilizando a regra do tombo, temos que:
v = dsdt = 0 + 1.5.t1-1 + 2.1.t 2-1 v(t) = 2t – 5
Quando a velocidade se torna nula, temos que:
v(t) = 0 2t – 5 = 0 t = 2,5s
Movimento progressivo e retrógrado
Chamamos de movimento progressivo quando um móvel se desloca no sentido da orientação positiva da trajetória. Nesse caso, Δs > 0 e podemos verificar que os espaços crescem com o decorrer do tempo. Além disso, como Δs > 0 temos que v > 0, isto é, em qualquer intervalo de tempo a velocidade escalar é sempre positiva.
Por outro lado, chamamos de movimento retrógrado quando um móvel se desloca no sentido contrário ao da orientação. Nesse caso, Δs < 0 e podemos verificar que os espaços decrescem com o decorrer do tempo. Além disso, como Δs < 0 temos que v < 0, isto é, em qualquer intervalo de tempo a velocidade escalar é sempre negativa.
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