Funções: como classificar a monotonicidade?

Funções: como classificar a monotonicidade?

Se você está estudando para os seletivos militares, sabe a dificuldade das avaliações! Então, confira mais este resumo de Matemática sobre Funções e os tipos de monotonicidade. O conteúdo é baseado nas aulas do professor Victor So. 

Funções são tipos de relações binárias, que sempre seguem as duas regras a seguir: 

Quando falamos de monotonicidade, trata-se de como classificar as funções de acordo com seu comportamento em determinado intervalo. Vamos ver as possibilidades abaixo! 

Crescente

Acontece quando o ponto final da função é maior do que o inicial e a função não decresce dentro desse intervalo. A regra da função crescente é a seguinte: 

Para melhor visualização, confira o gráfico a seguir: 

Assim, 𝑓 é crescente em 𝐼 = [1,3]. Do gráfico, temos: 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3 ⇒ 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) < 𝑓(𝑥3). Perceba que entre 1 e x1, a função é constante e entre x2 e 3, a função é estritamente crescente. 

Decrescente

Da mesma forma, a função não cresce ao longo do intervalo e o ponto inicial é maior que o ponto final. A regra da função decrescente é:

Veja o exemplo gráfico: 

Assim, 𝑓 é decrescente em 𝐼 = [1,3]. Do gráfico, temos que: 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3 ⇒ 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) > 𝑓(𝑥3). A função não cresce em nenhum momento ao longo do intervalo I. Perceba que entre 1 e 𝑥1, a função é constante e entre 𝑥2 e 3, a função é estritamente decrescente.

Constante

Neste caso, a regra é: 

Assim, o exemplo gráfico é: 

Como vimos, a função 𝑓 é constante no intervalo 𝐼. Em que: 

∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐼, 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) = 𝑐

Estritamente Crescente

No caso da função estritamente crescente, não há trechos constantes ou decrescentes. Assim, a regra é: 

O exemplo gráfico é: 

Logo, 𝑓 é estritamente crescente em 𝐼. Para qualquer 𝑥1 < 𝑥2 ∈ 𝐼, temos 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2).

Estritamente Decrescente

A função estritamente decrescente pode ser descrita assim: 

O exemplo gráfico seria o seguinte: 

Assim, 𝑓 é estritamente decrescente em 𝐼. Para qualquer 𝑥1 < 𝑥2 ∈ 𝐼, temos 𝑓(𝑥2) < 𝑓(𝑥1). 

Depois de ver as classificações acima, é importante guardar a seguinte informação: uma função 𝑓 é dita monótona se for crescente ou decrescente; porém, se 𝑓 for estritamente crescente ou estritamente decrescente, ela é dita estritamente monótona. 

Monotonicidade da Função Afim

Agora, como é possível identificar a monotonicidade da função afim? Considere 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎 ≠ 0. Vamos analisar a monotonicidade da função afim não constante. Tomando 𝑥1, 𝑥2 ∈ ℝ, temos: 

𝑓(𝑥1) = 𝑎𝑥1 + 𝑏

𝑓(𝑥2) = 𝑎𝑥2 + 𝑏

Ao subtrair as duas equações temos: 

A partir daqui, vamos analisar o sinal do coeficiente angular 𝑎 para 𝑓 crescente e decrescente: 

Com 𝑓 crescente

Sendo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, uma função crescente, podemos escrever:

𝑥2 > 𝑥1 ⇒ 𝑓(𝑥2) > 𝑓(𝑥1)

Das desigualdades acima:

𝑥2 > 𝑥1 ⇒ 𝑥2 − 𝑥1 > 0

𝑓(𝑥2) > 𝑓(𝑥1) ⇒ 𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1) > 0

Isso implica em:

Se o coeficiente angular é dado por: 

Assim, concluímos que: 

Com 𝑓 decrescente

Sendo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, uma função decrescente, podemos escrever:

𝑥2 > 𝑥1 ⇒ 𝑓(𝑥2) < 𝑓(𝑥1)

Das desigualdades acima:

𝑥2 > 𝑥1 ⇒ 𝑥2 − 𝑥1 > 0

𝑓(𝑥2) < 𝑓(𝑥1) ⇒ 𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1) < 0

Isso implica em: 

Se o coeficiente angular é dado por:

Logo, podemos dizer que:

Para resumir, então, podemos esquematizar a monotonicidade da Função Afim da seguinte forma: 

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