Está estudando para os seletivos das Forças Armadas? Confira os resumos que o Estratégia militares preparou para você sobre os assuntos cobrados nas avaliações! A função é uma relação binária, com algumas restrições. Existem vários tipos de funções e uma das mais conhecidas é a Função Afim. Neste post, entenda como ela funciona!
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O que é Função Afim?
A Função Afim é uma função de 1o grau, cuja definição é dada por:
Dependendo dos valores de 𝑎, 𝑏 da definição acima, podemos ter casos específicos de função. Com exceção da função constante, todas as demais são consideradas funções de 1o grau, já que dependem da variável x. Vamos entender cada uma delas.
Função Constante
Uma função 𝑓 de ℝ em ℝ é chamada de constante quando cada elemento 𝑥 ∈ ℝ corresponde a um mesmo elemento 𝑐 ∈ ℝ. A definição pode ser escrita da seguinte forma:
Esta função é um caso específico, onde 𝑎 = 0 e 𝑏 ∈ ℝ. A transformação 𝑓 de ℝ em ℝ associa para cada 𝑥 ∈ ℝ um mesmo valor 𝑏 ∈ ℝ. Graficamente, ela será uma reta horizontal ao eixo 𝑥:
Nesse caso, a imagem de 𝑓 é 𝐼𝑚𝑓 = {𝑏}.
Função Identidade
A Função Identidade, por sua vez, é uma relação 𝑓: ℝ → ℝ que associa 𝑥 ao próprio 𝑥. Sua definição é dada por:
Nesse caso, a imagem de 𝒇 é 𝑰𝒎𝒇 = ℝ. O gráfico da função é representado da seguinte forma:
Função Linear
Por fim, a função linear tem o coeficiente 𝒃 = 𝟎. Ela é definida por:
A representação gráfica é:
A reta passa pela origem do sistema e possui imagem 𝑰𝒎𝒇 = ℝ.
Coeficientes da Função Afim
Considere uma função afim:
𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ
Nela, o x é a sua variável, porém a e b também recebem um nome. Eles são os coeficientes da função. A letra a acompanha a variável x e é chamada de coeficiente angular. Já o b é chamado de coeficiente linear.
Veja o exemplo:
𝑓1: ℝ → ℝ, 𝑓1(𝑥) = 2𝑥 + 1
O coeficiente angular de 𝑓1 é 2 e seu coeficiente linear é 1. Agora, observe a função 𝑓2 a seguir:
𝑓2: ℝ → ℝ, 𝑓2(𝑥) = −𝑥 − 10
O coeficiente angular de 𝑓2 é −1 e seu coeficiente linear é −10.
Como montar o gráfico da Função Afim?
A representação gráfica da Função Afim nos permite extrair informações importantes, como o sinal da função e a resolução de inequações. Para montar o gráfico da função, no entanto, primeiro precisamos encontrar sua imagem e sua raiz.
Imagem da Função Afim
Para encontrar o conjunto imagem de uma função f, é preciso analisar o seu domínio e ver o que acontece com sua variável. Considere, por exemplo, a seguinte função:
𝑓: [0, 10] → ℝ, 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2
Substituindo 𝑓(𝑥) = 𝑦 e isolando 𝑥:
Como o 𝐷𝑓 = [0,10], sabemos que o x só pode ser maior ou igual a zero ou menor ou igual a 10. Assim:
Multiplicando as desigualdades acima por 3:
0 ≤ 𝑦 − 2 ≤ 30
Em seguida, somamos 2 às desigualdades:
0 + 2 ≤ 𝑦 − 2 + 2 ≤ 30 + 2
2 ≤ 𝑦 ≤ 32
Dessa forma, concluímos:
𝐷𝑓 = [0, 10] ⇒ 𝐼𝑚𝑓 = [2, 32]
Raiz da Função Afim
A raiz também é conhecida como o zero de uma função, já que é todo x que resulta 𝑓(𝑥) = 0. Para determinarmos a raiz da Função Afim, devemos substituir 𝑓(𝑥) = 0 e resolver a equação resultante. Veja a seguir:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏
Substituindo 𝑓(𝑥) = 0, encontramos a seguinte equação:
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
A resolução se apresenta da seguinte forma:
A única solução da equação é dada por 𝑥 = −𝑏/𝑎. Quer ver como funciona na prática? Então, vamos encontrar a raiz de 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 6. Se substituirmos 𝑓(𝑥) = 0, obtemos a equação:
3𝑥 + 6 = 0
3𝑥 + 6 = 0 ⇒ 𝑥 = −2
Então, para x = −2, temos 𝑓(−2) = 0.
Construindo o gráfico da função
Agora que você conhece como calcular a imagem e a raiz, é a hora de aprender a construir o gráfico da Função Afim. Uma função 𝑓 de ℝ em ℝ retorna os pares ordenados da forma (𝑥, 𝑦), onde 𝑥 pertence ao domínio de 𝑓 e 𝑦 pertence à imagem de 𝑓.
Para representar uma função no plano cartesiano, devemos verificar a forma dela e encontrar alguns pares ordenados. Veja o gráfico que podemos construir com a seguinte função:
𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1
Primeiro, devemos encontrar os principais pares ordenados. Para o caso da função afim, podemos encontrar os pontos onde 𝑓(𝑥) = 0 e 𝑥 = 0. Lembrando que 𝑓(𝑥) = 0 é o que chamamos de raiz da função.
𝑓(𝑥) = 0 ⇒ 2𝑥 + 1 = 0 ⇒ 𝑥 = −1/2
𝑥 = 0 ⇒ 𝑓(0) = 2 ∙ 0 + 1 = 1
⇒ (0,1)
Para esboçar o gráfico, devemos representar os dois pontos no plano cartesiano e traçar uma reta que passa por eles. Observe os dois pontos no plano cartesiano abaixo:
Ao traçar a reta entre eles, obtemos:
Uma das características da Função Afim é que seu gráfico sempre será uma reta. Portanto, fique atento para ver se sua representação no plano cartesiano respeita essa regra.
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Texto escrito a partir do conteúdo elaborado pelo Prof. Victor So.
