Se você tem o sonho de tornar-se um militar de carreira das Forças Armadas, sabe o nível de dificuldade dos seletivo! Confira os resumos de Matemática que o Estratégia Militares preparou para você sobre o que é Função e quais os seus tipos.
Atenção! Para compreender melhor o assunto de Funções, confira também os textos sobre par ordenado, produto cartesiano e relações binárias.
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O que é função?
Uma função equivale a uma relação binária, só que com algumas restrições. Considere o exemplo da função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 que é uma relação binária que relaciona elementos do conjunto A em elementos de B.
No caso acima, os números {1, 2, 3} são relacionados à sua paridade {𝑝𝑎𝑟, í𝑚𝑝𝑎𝑟}. A definição formal de função é dada por:
Perceba que 𝑓 transforma 𝑥 ∈ 𝐴 em 𝑦 ∈ 𝐵. A partir dessa definição vemos que é necessário satisfazer a duas condições para uma relação ser considerada uma função:
- Todo elemento 𝑥 pertencente a 𝐴 deve ser relacionado a algum elemento 𝑦 pertencente a 𝐵; e
- Um 𝑥, elemento de 𝐴, não pode se relacionar a mais de um 𝑦, elemento de 𝐵.
Exemplos de função
Confira mais algumas possibilidades de função para você se familiarizar com o conceito!
No exemplo acima, as duas condições da definição são satisfeitas. Perceba que o fato de 4 e 5 estarem relacionados ao mesmo elemento 𝑏 não contradiz nenhuma das condições para ser função.
Observe o caso de relação binária que não é uma função:
Como o elemento 5 do conjunto A não possui correspondente em B, a primeira condição é violada. Observe um segundo exemplo de relação binária que viola as condições de função:
No caso acima, a segunda condição foi quebrada, já que o elemento 5 do conjunto A possui mais de um correspondente em B.
Domínio, contradomínio e imagem
Observe a função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 representada pelo diagrama de flechas a seguir:
Chamamos de domínio de uma função, o conjunto de onde as setas partem, no caso, o A. Assim:
𝐷𝑓 = 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5}
Já o contradomínio equivale ao conjunto B, escrito como:
𝐶𝐷𝑓 = 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}
A imagem de f, por sua vez, é o conjunto formado pelos elementos 𝑦 ∈ 𝐵, tal que ∀𝑥 ∈ 𝐴, 𝑓(𝑥) = 𝑦. Ela pode ser escrita dessa forma:
𝐼𝑚𝑓 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}
Veja que podemos representar a imagem de um conjunto por meio da função. Ou seja, 𝑓(𝐴) é a imagem da função 𝑓. Já que:
𝑓(𝐴) = 𝐼𝑚𝑓 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}
Como mostrar a função em um gráfico?
Assim como as relações binárias, a função pode ser representada graficamente em um plano cartesiano. Para esboçar seu gráfico, consideramos que 𝑓 gera pares ordenados da forma (𝑥, 𝑦) tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥), com 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑦 ∈ ℝ.
Veja o exemplo a seguir, em que a relação 𝑓 de 𝐴 em ℝ, com 𝐴 = [0, 3], é uma função:
As retas verticais que passam pela relação 𝑓 possuem apenas um ponto de encontro na relação, destacado em azul – o que satisfaz às condições da definição de função. Assim, os elementos de A = [0,3] representados no eixo 𝑥 correspondem a um único valor em ℝ, representado no eixo 𝑦.
Agora, veja uma representação gráfica da relação 𝑓 de 𝐴 em ℝ, com 𝐴 = [1, 3] que não se refere a uma função:
Como há retas verticais que encontram o gráfico de 𝑓 em 2 pontos, ocorre uma violação da condição de 𝑥 ∈ 𝐴 possuir apenas um correspondente em 𝑦 ∈ ℝ. Assim, para verificarmos se uma relação 𝑓 de 𝐴 em 𝐵 é função por meio da representação cartesiana, devemos ver se as retas paralelas ao eixo 𝑦 encontram o gráfico de 𝑓 em um só ponto.
Tipos de função
Existem vários tipos e, por isso, separamos aquelas que têm maior possibilidade de serem cobradas na sua prova!
1) Função Afim
𝑓: ℝ → ℝ e 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ
2) Função Racional
3) Função Quadrática
𝑓: ℝ → ℝ e 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐; 𝑎 ≠ 0
4) Função Modular
𝑓: ℝ → ℝ e 𝑓(𝑥) = |𝑥|
5) Função Exponencial
𝑓: ℝ → ℝ e 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 ; 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1
6) Função Logarítmica
𝑓: ℝ∗+→ ℝ e 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 ; 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1
7) Função Máximo Inteiro
𝑓: ℝ → ℝ e 𝑓(𝑥) = ⌊𝑥⌋
8) Função Trigonométrica
𝑓: 𝐴 → 𝐵 e 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑜𝑢 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑜𝑢 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔𝑥
9) Cosseno hiperbólico em 𝑥
10) Seno hiperbólico em 𝑥
11) Tangente hiperbólico em 𝑥
Função com múltiplas variáveis
Você sabia que as funções também podem ter mais de uma variável? Veja os exemplos a seguir!
I) 𝑓: ℝ2 → ℝ
𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2
Nesse caso, a função apresenta duas variáveis, 𝑥 e 𝑦. Se atribuirmos 𝑥 = 1 e 𝑦 = 2, ela retornará:
𝑓(1; 2) = 12 + 22 = 1 + 4 ⇒ 𝑓(1; 2) = 5
II) 𝑓: ℝ3 → ℝ2
𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (2𝑥 − 𝑦 + 𝑧; 𝑥 + 𝑦 − 𝑧)
O resultado da função com três variáveis acima é o par ordenado (2𝑥 − 𝑦 + 𝑧; 𝑥 + 𝑦 − 𝑧). Assim, se atribuirmos 𝑥 = 1, 𝑦 = 2 e 𝑧 = 3, temos:
𝑓(1; 2; 3) = (2 ⋅ 1 − 2 + 3; 1 + 2 − 3) ⇒ 𝑓(1; 2; 3) = (3; 0)
III) 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ𝑚. Nesse exemplo, a função transforma n-uplas ordenadas em m-uplas ordenadas.
Na prática!
Agora que você sabe o que é uma função, que tal testar seus conhecimentos? Resolva o exercício a seguir!
Classifique as relações abaixo, indicando se são ou não função. Caso positivo, determine seu domínio, contradomínio e imagem.
Resolução:
a) A relação 𝑅 não é função, pois o elemento −1 possui dois correspondentes (0 e 3).
b) A relação 𝑇 é função. Todos os elementos do conjunto 𝐴 possuem correspondentes em 𝐵 e cada um deles é associado a um único elemento de 𝐵. O domínio de 𝑇 é o conjunto 𝐴:
𝐷𝑇 = {−1, 0, 1}
O contradomínio é o conjunto 𝐵:
𝐶𝐷𝑇 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
A imagem de 𝑇 é composta por todos os elementos de 𝐵 que são associados a algum elemento de 𝐴:
𝐼𝑚𝑇 = {0, 2, 6}
c) A relação 𝑆 é função. Todos elementos de 𝐴 correspondem a algum elemento de 𝐵 e cada um deles possui apenas um elemento associado a eles.
𝐷𝑆 = {−1, 0, 1}
𝐶𝐷𝑆 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
𝐼𝑚𝑆 = {2, 4}
d) A relação 𝑉 não é função, pois o elemento 1 do conjunto 𝐴 não corresponde a nenhum elemento em 𝐵.
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Conteúdo escrito com base no material elaborado pelo prof. Victor So.
