Se você está estudando para os seletivos militares, sabe a dificuldade das avaliações! Então, confira mais este resumo de Matemática sobre Funções e os tipos de monotonicidade. O conteúdo é baseado nas aulas do professor Victor So.
Funções são tipos de relações binárias, que sempre seguem as duas regras a seguir:
Quando falamos de monotonicidade, trata-se de como classificar as funções de acordo com seu comportamento em determinado intervalo. Vamos ver as possibilidades abaixo!
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Crescente
Acontece quando o ponto final da função é maior do que o inicial e a função não decresce dentro desse intervalo. A regra da função crescente é a seguinte:
Para melhor visualização, confira o gráfico a seguir:
Assim, 𝑓 é crescente em 𝐼 = [1,3]. Do gráfico, temos: 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3 ⇒ 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) < 𝑓(𝑥3). Perceba que entre 1 e x1, a função é constante e entre x2 e 3, a função é estritamente crescente.
Decrescente
Da mesma forma, a função não cresce ao longo do intervalo e o ponto inicial é maior que o ponto final. A regra da função decrescente é:
Veja o exemplo gráfico:
Assim, 𝑓 é decrescente em 𝐼 = [1,3]. Do gráfico, temos que: 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3 ⇒ 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) > 𝑓(𝑥3). A função não cresce em nenhum momento ao longo do intervalo I. Perceba que entre 1 e 𝑥1, a função é constante e entre 𝑥2 e 3, a função é estritamente decrescente.
Constante
Neste caso, a regra é:
Assim, o exemplo gráfico é:
Como vimos, a função 𝑓 é constante no intervalo 𝐼. Em que:
∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐼, 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) = 𝑐
Estritamente Crescente
No caso da função estritamente crescente, não há trechos constantes ou decrescentes. Assim, a regra é:
O exemplo gráfico é:
Logo, 𝑓 é estritamente crescente em 𝐼. Para qualquer 𝑥1 < 𝑥2 ∈ 𝐼, temos 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2).
Estritamente Decrescente
A função estritamente decrescente pode ser descrita assim:
O exemplo gráfico seria o seguinte:
Assim, 𝑓 é estritamente decrescente em 𝐼. Para qualquer 𝑥1 < 𝑥2 ∈ 𝐼, temos 𝑓(𝑥2) < 𝑓(𝑥1).
Depois de ver as classificações acima, é importante guardar a seguinte informação: uma função 𝑓 é dita monótona se for crescente ou decrescente; porém, se 𝑓 for estritamente crescente ou estritamente decrescente, ela é dita estritamente monótona.
Monotonicidade da Função Afim
Agora, como é possível identificar a monotonicidade da função afim? Considere 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎 ≠ 0. Vamos analisar a monotonicidade da função afim não constante. Tomando 𝑥1, 𝑥2 ∈ ℝ, temos:
𝑓(𝑥1) = 𝑎𝑥1 + 𝑏
𝑓(𝑥2) = 𝑎𝑥2 + 𝑏
Ao subtrair as duas equações temos:
A partir daqui, vamos analisar o sinal do coeficiente angular 𝑎 para 𝑓 crescente e decrescente:
Com 𝑓 crescente
Sendo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, uma função crescente, podemos escrever:
𝑥2 > 𝑥1 ⇒ 𝑓(𝑥2) > 𝑓(𝑥1)
Das desigualdades acima:
𝑥2 > 𝑥1 ⇒ 𝑥2 − 𝑥1 > 0
𝑓(𝑥2) > 𝑓(𝑥1) ⇒ 𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1) > 0
Isso implica em:
Se o coeficiente angular é dado por:
Assim, concluímos que:
Com 𝑓 decrescente
Sendo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, uma função decrescente, podemos escrever:
𝑥2 > 𝑥1 ⇒ 𝑓(𝑥2) < 𝑓(𝑥1)
Das desigualdades acima:
𝑥2 > 𝑥1 ⇒ 𝑥2 − 𝑥1 > 0
𝑓(𝑥2) < 𝑓(𝑥1) ⇒ 𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1) < 0
Isso implica em:
Se o coeficiente angular é dado por:
Logo, podemos dizer que:
Para resumir, então, podemos esquematizar a monotonicidade da Função Afim da seguinte forma:
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