Para encarar os rigorosos concursos das escolas militares, ter uma base sólida em matemática e entender os sistemas lineares e não lineares é essencial! Esses conceitos são pilares não só para a matemática em si, mas também para a física e a engenharia, áreas constantemente abordadas nas provas.
Você vai ver que há uma grande diferença entre a previsibilidade de um sistema linear e os desafios de um sistema não linear. Por isso, identificar corretamente qual tipo de sistema você está encarando é o ponto de partida para escolher a estratégia certa e garantir seus pontos nas provas militares.
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O que são sistemas lineares?
Imagine um conjunto de equações em que cada incógnita (como x, y ou z) aparece com expoente 1 e não há multiplicação entre elas. Isso é um sistema linear. A forma geral de uma equação linear é ax+by+cz=d, onde a,b,c e d são números conhecidos e x,y,z são as incógnitas.
Exemplo prático:
Pense na seguinte situação: “A soma da idade de dois irmãos é 20 anos, e a diferença entre suas idades é 4 anos.”
Podemos representar isso com duas equações:
- A primeira equação é x+y= 20 (a soma das idades é 20).
- A segunda equação é x−y= 4 (a diferença das idades é 4).
Onde x é a idade do irmão mais velho e y é a idade do irmão mais novo.
Como resolver sistemas lineares?
Existem diversas técnicas para encontrar os valores das incógnitas que satisfazem todas as equações do sistema. As mais comuns e que você precisa dominar para as provas militares são:
- Método da substituição: Isole uma das incógnitas em uma equação e substitua seu valor na outra equação.
- Método da adição ou eliminação: Some ou subtraia as equações de forma a eliminar uma das incógnitas.
- Método da comparação: Isole a mesma incógnita em ambas as equações e iguale as expressões resultantes.
Para sistemas maiores (com 3 ou mais equações e incógnitas), você também pode se deparar com:
- Regra de Cramer: Utiliza determinantes para encontrar os valores das incógnitas.
- Escalonamento (Método de Gauss): Transforma o sistema em uma forma mais simples para facilitar a resolução.
O que são sistemas não lineares?
Enquanto nos sistemas lineares as incógnitas geralmente exibem um comportamento previsível, a situação é bem diferente nos sistemas não lineares. Nesses casos, pelo menos uma das equações do sistema possui alguma característica que a torna não linear, como:
- Incógnitas dentro de funções não lineares: Como √x, sen(x), log(y).
- Incógnitas com expoente diferente de 1: Por exemplo, x2, y3 .
- Multiplicação entre incógnitas: Por exemplo, xy, x2y.
Exemplo:
Considere o seguinte cenário: “A área de um retângulo é 24 cm², e seu perímetro é 20 cm.”
Essa situação resulta em um sistema não linear que pode ser representado por duas equações:
- A primeira equação, xy=24, é não linear devido à multiplicação entre as variáveis x (comprimento) e y (largura).
- A segunda equação, 2x+2y=20, representa o perímetro.
Como resolver sistemas não lineares?
A resolução de sistemas não lineares é, geralmente, mais complexa e não há um método único que sirva para todos os casos. Muitas vezes, a estratégia envolve:
- Substituição: É o método mais comum. Isole uma incógnita em uma das equações (geralmente a linear, se houver) e substitua na equação não linear. Isso resultará em uma equação polinomial que você precisará resolver.
- Fatoração e Propriedades algébricas: Em alguns casos, é possível simplificar as equações utilizando técnicas de fatoração ou outras propriedades algébricas.
Parece difícil? Não precisa se desesperar! Nas provas militares, os sistemas não lineares costumam ser mais simples, envolvendo equações do segundo grau ou que podem ser facilmente reduzidas a elas após a substituição.
Visualização gráfica: entendendo as soluções
A matemática ganha uma nova dimensão quando podemos visualizá-la. Gráficos nos ajudam a entender as soluções dos sistemas!
No caso de sistemas lineares com 2 variáveis, as equações podem ser visualizadas da seguinte forma:
- Cada equação linear representa uma reta no plano cartesiano.
- A solução do sistema é o ponto (ou pontos) onde essas retas se encontram.
- Se as retas são paralelas e distintas, não há solução.
- Se as retas são coincidentes (uma em cima da outra), há infinitas soluções.
- Se as retas se cruzam em um único ponto, há uma única solução.
Agora, quando os sistema não são lineares e com duas variáveis, a visualização é a seguinte:
- Pelo menos uma das equações representa uma curva no plano (como uma parábola, círculo, hipérbole, etc.), e a outra pode ser uma reta ou outra curva.
- As soluções são os pontos de interseção entre essas curvas e/ou retas.
- É comum que sistemas não lineares tenham múltiplas soluções, ou nenhuma, dependendo de como as figuras se cruzam.
Como exemplo, você pode pensar na interseção de uma reta com uma parábola. Nesse caso, ela pode ter 0, 1 ou 2 pontos de solução.
Como esses assuntos caem nas provas militares?
Nas provas de escolas como a ESA, EsPCEx, AFA e EFOMM, sistemas lineares e não lineares são cobrados de diversas formas:
- Problemas contextualizados: A maioria das questões apresenta situações-problema do cotidiano que precisam ser modeladas por um sistema de equações. Você terá que interpretar o enunciado, montar o sistema e resolvê-lo. Essa é a forma mais comum de cobrança.
- Questões diretas de resolução: Menos frequentes, mas podem aparecer questões pedindo para você resolver um sistema linear ou não linear já fornecido.
- Análise de soluções: Questões que pedem para você determinar se um sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução – a chamada discussão de sistemas. Isso é mais comum em sistemas lineares.
- Geometria analítica: Conceitos de sistemas podem ser utilizados para encontrar pontos de interseção entre retas, curvas e outras figuras geométricas.
Portanto, para dominar de verdade esses tópicos e garantir seus pontos nas provas militares, a prática é sua maior aliada. Pratique a interpretação de texto e a modelagem matemática. Quanto mais problemas você resolver, mais fácil será identificar o tipo de sistema e a melhor forma de solucioná-lo. Não se esqueça de revisar os métodos de resolução e as condições para um sistema ter diferentes tipos de soluções.
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