O que é Função Afim e quais suas propriedades?

Está estudando para os seletivos das Forças Armadas? Confira os resumos que o Estratégia militares preparou para você sobre os assuntos cobrados nas avaliações! A função é uma relação binária, com algumas restrições. Existem vários tipos de funções e uma das mais conhecidas é a Função Afim. Neste post, entenda como ela funciona!

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O que é Função Afim?

A Função Afim é uma função de 1^o grau, cuja definição é dada por:

Dependendo dos valores de 𝑎, 𝑏 da definição acima, podemos ter casos específicos de função. Com exceção da função constante, todas as demais são consideradas funções de 1^o grau, já que dependem da variável x. Vamos entender cada uma delas.

Função Constante

Uma função 𝑓 de ℝ em ℝ é chamada de constante quando cada elemento 𝑥 ∈ ℝ corresponde a um mesmo elemento 𝑐 ∈ ℝ. A definição pode ser escrita da seguinte forma:

Esta função é um caso específico, onde 𝑎 = 0 e 𝑏 ∈ ℝ. A transformação 𝑓 de ℝ em ℝ associa para cada 𝑥 ∈ ℝ um mesmo valor 𝑏 ∈ ℝ. Graficamente, ela será uma reta horizontal ao eixo 𝑥:

Nesse caso, a imagem de 𝑓 é 𝐼𝑚_𝑓 = {𝑏}.

Função Identidade

A Função Identidade, por sua vez, é uma relação 𝑓: ℝ → ℝ que associa 𝑥 ao próprio 𝑥. Sua definição é dada por:

Nesse caso, a imagem de 𝒇 é 𝑰𝒎𝒇 = ℝ. O gráfico da função é representado da seguinte forma:

Função Linear

Por fim, a função linear tem o coeficiente 𝒃 = 𝟎. Ela é definida por:

A representação gráfica é:

A reta passa pela origem do sistema e possui imagem 𝑰𝒎_𝒇 = ℝ.

Coeficientes da Função Afim

Considere uma função afim:

𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ

Nela, o x é a sua variável, porém a e b também recebem um nome. Eles são os coeficientes da função. A letra a acompanha a variável x e é chamada de coeficiente angular. Já o b é chamado de coeficiente linear.

Veja o exemplo:

𝑓1: ℝ → ℝ, 𝑓1(𝑥) = 2𝑥 + 1

O coeficiente angular de 𝑓₁ é 2 e seu coeficiente linear é 1. Agora, observe a função 𝑓₂ a seguir:

𝑓₂: ℝ → ℝ, 𝑓₂(𝑥) = −𝑥 − 10

O coeficiente angular de 𝑓₂ é −1 e seu coeficiente linear é −10.

Como montar o gráfico da Função Afim?

A representação gráfica da Função Afim nos permite extrair informações importantes, como o sinal da função e a resolução de inequações. Para montar o gráfico da função, no entanto, primeiro precisamos encontrar sua imagem e sua raiz.

Imagem da Função Afim

Para encontrar o conjunto imagem de uma função f, é preciso analisar o seu domínio e ver o que acontece com sua variável. Considere, por exemplo, a seguinte função:

𝑓: [0, 10] → ℝ, 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2

Substituindo 𝑓(𝑥) = 𝑦 e isolando 𝑥:

Como o 𝐷_𝑓 = [0,10], sabemos que o x só pode ser maior ou igual a zero ou menor ou igual a 10. Assim:

Multiplicando as desigualdades acima por 3:

0 ≤ 𝑦 − 2 ≤ 30

Em seguida, somamos 2 às desigualdades:

0 + 2 ≤ 𝑦 − 2 + 2 ≤ 30 + 2
2 ≤ 𝑦 ≤ 32

Dessa forma, concluímos:

𝐷_𝑓 = [0, 10] ⇒ 𝐼𝑚_𝑓 = [2, 32]

Raiz da Função Afim

A raiz também é conhecida como o zero de uma função, já que é todo x que resulta 𝑓(𝑥) = 0. Para determinarmos a raiz da Função Afim, devemos substituir 𝑓(𝑥) = 0 e resolver a equação resultante. Veja a seguir:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏

Substituindo 𝑓(𝑥) = 0, encontramos a seguinte equação:

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

A resolução se apresenta da seguinte forma:

A única solução da equação é dada por 𝑥 = −𝑏/𝑎. Quer ver como funciona na prática? Então, vamos encontrar a raiz de 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 6. Se substituirmos 𝑓(𝑥) = 0, obtemos a equação:

3𝑥 + 6 = 0
3𝑥 + 6 = 0 ⇒ 𝑥 = −2

Então, para x = −2, temos 𝑓(−2) = 0.

Construindo o gráfico da função

Agora que você conhece como calcular a imagem e a raiz, é a hora de aprender a construir o gráfico da Função Afim. Uma função 𝑓 de ℝ em ℝ retorna os pares ordenados da forma (𝑥, 𝑦), onde 𝑥 pertence ao domínio de 𝑓 e 𝑦 pertence à imagem de 𝑓.

Para representar uma função no plano cartesiano, devemos verificar a forma dela e encontrar alguns pares ordenados. Veja o gráfico que podemos construir com a seguinte função:

𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1

Primeiro, devemos encontrar os principais pares ordenados. Para o caso da função afim, podemos encontrar os pontos onde 𝑓(𝑥) = 0 e 𝑥 = 0. Lembrando que 𝑓(𝑥) = 0 é o que chamamos de raiz da função.

𝑓(𝑥) = 0 ⇒ 2𝑥 + 1 = 0 ⇒ 𝑥 = −1/2

𝑥 = 0 ⇒ 𝑓(0) = 2 ∙ 0 + 1 = 1
⇒ (0,1)

Para esboçar o gráfico, devemos representar os dois pontos no plano cartesiano e traçar uma reta que passa por eles. Observe os dois pontos no plano cartesiano abaixo:

Ao traçar a reta entre eles, obtemos:

Uma das características da Função Afim é que seu gráfico sempre será uma reta. Portanto, fique atento para ver se sua representação no plano cartesiano respeita essa regra.

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Texto escrito a partir do conteúdo elaborado pelo Prof. Victor So.

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