Inequação e Função de 1º grau: como resolver?

Está estudando para os seletivos das Forças Armadas? Então confira os resumos dos principais conteúdos de Matemática do Estratégia Militares! Neste texto trazemos para você como resolver inequações envolvendo funções de 1^o grau!

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O que é uma inequação?

Diferente de uma equação, a inequação é uma expressão matemática que não possui uma igualdade. Em vez disso, a inequação apresenta sinais de desigualdade, como:

menor que (<);
maior que (>);
menor ou igual (≤); e
maior ou igual (≥).

Elas são resolvidas de forma semelhante à equação, porém as respostas podem ser infinitas soluções, organizadas em um conjunto. Ou seja, a resposta não é uma só, mas sim um intervalo onde ela pode ser encontrada. Agora, confira alguns possíveis casos de inequações!

Inequações simultâneas

Uma inequação simultânea é aquela que coloca mais de uma inequação numa mesma expressão. Sejam 𝑓, 𝑔, ℎ: 𝐴 → ℝ, três funções na variável 𝑥. As inequações simultâneas são da forma:

𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) < ℎ(𝑥)

Para resolver esse tipo de inequação, devemos separá-la em duas:

𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥)

𝑔(𝑥) < ℎ(𝑥)

Se 𝑆₁ é a solução de 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) e 𝑆₂ é a solução de 𝑔(𝑥) < ℎ(𝑥), a solução da inequação será dada por:

𝑆 = 𝑆₁ ∩ 𝑆₂

Que tal ver na prática? Resolva a seguinte inequação definida em ℝ:

𝑥 − 3 < −𝑥 + 3 < 2𝑥 + 4

Temos inequações simultâneas. Vamos dividi-las em duas inequações e resolvê-las:

I) 𝑥 − 3 < −𝑥 + 3

II) −𝑥 + 3 < 2𝑥 + 4

Resolvendo analiticamente:

I) 𝑥 − 3 < −𝑥 + 3

2𝑥 < 6 ⇒ 𝑥 < 3

𝑆₁ = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < 3}

II) −𝑥 + 3 < 2𝑥 + 4

A solução é dada pela intersecção de S₁ e S₂:

Para facilitar a visualização da resposta, podemos representar as soluções no eixo x de um gráfico:

Inequações-produto

Agora, considere 𝑓, 𝑔: 𝐴 → ℝ, duas funções na variável 𝑥. Se multiplicarmos as funções podemos ter quatro casos de inequações-produto. Observe:

𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) < 0

𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) ≤ 0

𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) > 0

𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) ≥ 0

A resolução de cada uma dessas inequações segue a mesma ideia. Assim, vamos resolver 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) > 0.

Quando resolvemos inequações-produto, devemos nos atentar ao sinal de cada função envolvida. Nesse caso, o produto das duas funções deve resultar em um número positivo e, para isso acontecer, as duas devem possuir o mesmo sinal. As possibilidades são:

I) 𝑓(𝑥) > 0 e 𝑔(𝑥) > 0; ou

II) 𝑓(𝑥) < 0 e 𝑔(𝑥) < 0

A solução será dada pela união da solução desses dois casos. Sendo 𝑆₁, a solução do caso (I) e 𝑆₂, a solução do caso (II), a solução será dada por:

𝑆 = 𝑆₁ ∪ 𝑆₂

Agora, veja na prática ao resolver a seguinte inequação definida em ℝ:

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) > 0

Resolvendo algebricamente:

I) 𝑥 − 1 > 0 e 𝑥 + 1 > 0

𝑥 − 1 > 0 ⇒ 𝑥 > 1

𝑥 + 1 > 0 ⇒ 𝑥 > −1

Assim, fazendo a intersecção das duas soluções, obtemos:

𝑆₁ = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 1}

II) 𝑥 − 1 < 0 e 𝑥 + 1 < 0

𝑥 − 1 < 0 ⇒ 𝑥 < 1

𝑥 + 1 < 0 ⇒ 𝑥 < −1

𝑆₂ = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < −1}

Portanto, a solução é dada pela união dessas duas:

𝑆 = 𝑆₁ ∪ 𝑆₂ = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 1 𝑜𝑢 𝑥 < −1}

A solução pode ser representada no eixo 𝑥:

Resolução pelo estudo do sinal

Além do método acima, existe um modo de resolver diretamente a inequação-produto apenas com o estudo do sinal das funções envolvidas. Veja:

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) > 0

Vamos estudar o sinal de cada função:

𝑥 − 1 = 0 ⇒ 𝑥 = 1

𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 é uma função crescente, então representando o seu sinal no eixo 𝑥, temos:

Não é necessário desenhar a reta no eixo 𝑥 para encontrar o sinal da função. Isso foi feito no exemplo apenas para lembrar que quando temos uma função crescente, os números à direita da raiz da função resultam em números positivos e à esquerda resultam em negativos.

Para acelerar a resolução dos exercícios, o mais simples é memorizar esse fato e apenas montar a reta no eixo x da seguinte forma:

Repare que representamos os valores de x acima do eixo e os valores de x – 1, abaixo do eixo.

Agora, para a outra função 𝑥 + 1 = 0 ⇒ 𝑥 = −1. Veja que 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1 é uma função crescente, logo:

Juntando os dois eixos com seus respectivos sinais, obtemos o sinal do produto (𝑥 − 1)(𝑥 + 1):

Ficou confuso sobre como montamos o quadro acima? Não se preocupe, esclarecemos para você!

Como montar o quadro de sinais?

Quando queremos unir o resultado do estudo do sinal de cada função, devemos construir um quadro da seguinte forma:

Para descobrir o sinal da função produto, combinamos o sinal das duas que a compõem. Lembrando que negativo com negativo resulta em positivo e que negativo com positivo resulta em negativo, temos:

Com esse quadro, sabemos quais valores de x resultam em valores positivos ou negativos. Se quisermos (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) > 0:

Agora, se quisermos (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) < 0:

No caso de (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) ≥ 0 ou (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) ≤ 0, basta trocar o círculo aberto pelo círculo fechado para indicar que −1 e 1 fazem parte da solução.

Assim, se (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) ≥ 0:

Se quisermos representar o quadro acima algebricamente, o equivalente seria 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ −1 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 1}.

Agora, se (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) ≤ 0, então:

Algebricamente, a solução é dada como 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|−1 ≤ 𝑥 ≤ 1}.

Multiplicidade das raízes das funções

Além do método do quadro de sinais, existe uma forma mais rápida de resolver a inequação: usando a multiplicidade das raízes das funções envolvidas. Pense novamente na inequação (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) > 0. Para resolvê-la, precisamos encontrar as raízes das funções envolvidas 𝑥 − 1 e 𝑥 + 1:

𝑥 − 1 = 0 ⇒ 𝑥 = 1

𝑥 + 1 = 0 ⇒ 𝑥 = −1

Representamos as raízes na reta 𝑥 levando em consideração se elas pertencem à solução. No caso, ±1 não pertence à solução devido ao sinal da desigualdade, logo representamos essas raízes com o círculo aberto:

Para descobrir o sinal no intervalo, devemos arbitrar um valor para 𝑥 e encontrar o sinal resultante. Vamos ver o que ocorre quando 𝑥 = 0:

𝑥 = 0 ⇒ (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) = (0 − 1)(0 + 1) = (−1)(1) = −1

O sinal resultante é negativo (−1) e o número 0 está entre −1 e 1. Dessa forma, todos os números entre −1 e 1 são negativos:

Para encontrar o sinal do resto do intervalo, devemos verificar a multiplicidade das raízes da função. Se a multiplicidade da raiz for ímpar, o sinal do intervalo ao passar pela raiz é trocado. Se a multiplicidade for par, o sinal do intervalo é mantido.

No exemplo, a multiplicidade da raiz 1 é ímpar (multiplicidade 1), portanto o intervalo do lado direito da raiz 1 possui sinal oposto ao lado esquerdo:

Da mesma forma para a raiz −1, por possuir multiplicidade ímpar, trocamos seu sinal no lado esquerdo da raiz:

Com o eixo completo, basta encontrar os valores que interessam:

Algebricamente, podemos representar a solução como 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|−1 < 𝑥 < 1}.

Que tal ver um exemplo prático para fixar o conteúdo? Considere a inequação abaixo com raízes de multiplicidade par:

(𝑥 − 1)⁴(2𝑥 + 3)(𝑥 − 3) ≥ 0

As raízes dela são:

(𝑥 − 1)⁴ = 0 ⇒ 𝑥 = 1 multiplicidade 4 (par)
2𝑥 + 3 = 0 ⇒ 𝑥 = multiplicidade 1 (ímpar)
𝑥 − 3 = 0 ⇒ 𝑥 = 3 multiplicidade 1 (ímpar)

As raízes fazem parte da solução, pois o sinal de desigualdade é “≥”. Logo, as representamos na reta real com o círculo fechado:

Agora, vamos verificar o sinal quando x = 0:

(0 − 1)⁴(2(0) + 3)(0 − 3) = (−1)4(3)(−3) = −9

Logo, zero resulta em números negativos no intervalo:

O 1 é uma raiz de multiplicidade par, logo ao passarmos por essa raiz o sinal permanece igual:

Já o 3 possui multiplicidade ímpar, então devemos trocar o sinal:

Por fim, o −3/2 possui multiplicidade ímpar, logo trocamos o sinal:

Após colocar todos os sinais, observamos os valores que a inequação pede. No caso, são aqueles ≥ 0, com isso:

A solução algébrica equivalente é 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < −3/2 ou 𝑥 = 1 ou 𝑥 > 3}.

Inequações-quociente

Existem também as possibilidades de inequação-quociente, sendo 𝑓, 𝑔: 𝐴 → ℝ, duas funções na variável 𝑥. As possibilidades são:

Assim como as inequações-produto, as inequações-quocientes também são resolvidas com o quadro de sinais das funções envolvidas. No entanto, é preciso se atentar à função do denominador, que conta com uma condição de existência: ser diferente de zero.

Como exemplo, resolva a seguinte inequação definida em ℝ:

Para encontrar a solução é necessário zerar o outro lado da inequação. Assim, é preciso 2 em ambos os lados:

Agora, antes de resolvê-la, é preciso encontrar a condição de existência da inequação – lembrando que o denominador deve ser diferente de zero:

𝑥 − 1 ≠ 0

𝑥 ≠ 1

Com a condição em mãos, é hora de proceder para o estudo do sinal:

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 11 = 0 ⇒ 𝑥 = −11

𝑓 é crescente

𝑔(𝑥) = 𝑥 − 1 = 0 ⇒ 𝑥 = 1

𝑔 é crescente

O estudo do sinal é o seguinte:

Note que o círculo aberto no ponto 𝑥 = 1 para indicar que ela não pertence à solução do problema. Logo, a solução do problema é 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ −1 𝑜𝑢 𝑥 > 1}.

Atenção! Podemos ficar tentados a usar a regra do cruzado para simplificar a inequação; desse modo, no entanto, perde-se o denominador e consequentemente chega-se a um

resultado incorreto. Como no exemplo abaixo:

(3𝑥 + 9) ≥ 2(𝑥 − 1)

(3𝑥 + 9) − 2(𝑥 − 1) ≥ 0

3𝑥 + 9 − 2𝑥 + 2 ≥ 0

𝑥 + 11 ≥ 0

Tenha isso em mente ao resolver as questões do seu seletivo, já que as inequação geralmente não estarão na forma simplificada como:

Elas serão da seguinte forma:

Como mencionamos, para resolvê-la, basta subtrair ℎ(𝑥) nos dois lados da inequação para proceder com o estudo do sinal:

O estudo do sinal envolverá as funções 𝑡(𝑥) = 𝑓(𝑥) − ℎ(𝑥)𝑔(𝑥) e 𝑔(𝑥). O resultado será a análise do sinal de 𝑡(𝑥)/𝑔(𝑥).

E aí, guerreiro? Quer mais resumos dos assuntos que caem nos seletivos das Forças Armadas? Então, acompanhe o Portal do Estratégia Militares e assine nossa Newsletter semanal! Além disso, clique no banner e conheça nossa plataforma de cursos on-line preparatórios!

Texto escrito com base no conteúdo elaborado pelo Prof. Victor So

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