No vasto universo da matemática, as matrizes desempenham um papel fundamental. Elas são tabelas de números organizados em linhas e colunas, utilizadas para representar e manipular dados. Neste texto, você verá como calcular o determinante de matrizes de diferentes ordens, entenderá as propriedades e, por fim, descobrirá as diversas aplicações que o tornam indispensável em diversas áreas da matemática e além.
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Como calcular determinante conforme a ordem da matriz
O determinante de uma matriz é um valor numérico único que pode ser calculado a partir dos elementos da matriz. Ele é exclusivo para matrizes quadradas, ou seja, aquelas que possuem o mesmo número de linhas e colunas
A técnica utilizada para calcular o determinante varia conforme a ordem da matriz, e entender essa progressão é fundamental para resolver questões. Por definição, o determinante só existe em matrizes quadradas, ou seja, matrizes 2×2, 3×3, 4×4 e assim por diante. O processo se inicia com matrizes simples de ordem 1 e vai se tornando mais complexo em ordens superiores.
Determinante de matriz de ordem 1
Esse é o caso mais simples. Quando a matriz tem apenas um elemento, ele próprio representa o determinante. Se A = [a₁₁], então:
- det(A) = a₁₁
Exemplo:
- A = [5] → det(A) = 5
Tal simplicidade costuma cair em questões iniciais de provas, cobrando do candidato conhecimentos básicos sobre estruturas matriciais.
Determinante de matriz de ordem 2
A matriz de ordem 2 possui dois elementos diagonais principais (de cima à esquerda para baixo à direita) e dois na diagonal secundária (de cima à direita para baixo à esquerda). O cálculo do determinante é feito pela seguinte fórmula:
- det(A) = a₁₁·a₂₂ − a₁₂·a₂₁
Exemplo:
- A =
| 3 2 |
| 1 4 |
- det(A) = 3·4 − 2·1 = 12 − 2 = 10
Esse tipo de cálculo é bastante comum em sistemas lineares 2×2, especialmente quando se aplicam métodos como a Regra de Cramer.
Determinante de matriz de ordem 3 (Regra de Sarrus)
Para matrizes 3×3, o método mais utilizado é a regra de Sarrus. O processo começa repetindo-se as duas primeiras colunas da matriz à direita, somando-se os produtos das diagonais principais e subtraindo os produtos das diagonais secundárias.
Considere a matriz A:
| a₁₁ a₁₂ a₁₃ |
| a₂₁ a₂₂ a₂₃ |
| a₃₁ a₃₂ a₃₃ |
Passos:
- Copiar as duas primeiras colunas ao lado da matriz.
- Somar os produtos das três diagonais no sentido da diagonal principal.
- Subtrair os produtos das três diagonais no sentido da diagonal secundária.
Exemplo:
A =
| 1 2 3 |
| 4 5 6 |
| 7 8 9 |
Replicando as duas primeiras colunas:
| 1 2 3 | 1 2 |
| 4 5 6 | 4 5 |
| 7 8 9 | 7 8 |
- Soma das diagonais principais:
(1·5·9) + (2·6·7) + (3·4·8) = 45 + 84 + 96 = 225
- Soma das diagonais secundárias:
(3·5·7) + (2·4·9) + (1·6·8) = 105 + 72 + 48 = 225
- det(A) = 225 − 225 = 0
Note que este exemplo também ilustra uma matriz que possui linhas proporcionais, o que, segundo propriedades do determinante, anula seu valor.
Determinantes de ordem maior que 3
Em matrizes de ordem 4×4 ou superior, o cálculo direto se torna menos prático. Para essas situações, aplica-se a técnica de cofatores (expansão de Laplace) ou métodos de transformações matriciais para triangular a matriz. O foco das bancas normalmente recai sobre identificar padrões de zeros, utilizar propriedades e aplicar soluções em sistemas.
Por exemplo, ao transformarmos uma matriz em uma matriz triangular superior (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros), basta multiplicar os elementos da diagonal principal para obter o determinante.
Como esse assunto é abordado nas provas militares?
O determinante de uma matriz é um tópico que, nas provas militares, geralmente não é cobrado de forma isolada, mas sim como uma ferramenta para resolver problemas mais complexos. Os concursos, como os da EsPCEx, ESA, EEAR e AFA, focam em como você aplica esse conceito, não apenas em como você o calcula.
Aqui estão as principais formas como o tema é cobrado:
1. Aplicação das propriedades do determinante
As bancas examinadoras adoram testar o conhecimento das propriedades, pois isso demonstra uma compreensão mais profunda do assunto. Em vez de pedir para calcular o determinante de uma matriz 3×3 diretamente, a questão pode envolver:
- Matriz invertível: “Dada a matriz A, para quais valores de x a matriz não possui inversa?”
Para resolver, você precisa saber que uma matriz é invertível se e somente se seu determinante é diferente de zero. Então, você deve calcular o determinante de A, igualar a zero e encontrar os valores de x que tornam a matriz não invertível..
2. Sistemas de equações lineares
Este é um dos tópicos mais comuns onde o determinante é cobrado. A Regra de Cramer é uma forma de resolver sistemas lineares usando determinantes, e é muito útil para sistemas 2×2 e 3×3. As questões podem pedir para você:
- Determinar o valor de uma das incógnitas do sistema.
- Analisar a natureza do sistema (determinado, indeterminado ou impossível) com base nos determinantes.
A dica de ouro aqui é focar na teoria de sistemas lineares, pois o cálculo do determinante em si será apenas um passo intermediário da resolução.
3. Matrizes com variáveis e equações
Muitas questões apresentam uma matriz com uma ou mais incógnitas e pedem para você encontrar o valor dessas variáveis a partir de uma condição, como:
- “O determinante da matriz A é igual a 10. Encontre o valor de x.”
- “O determinante da matriz A é o dobro do determinante da matriz B. Qual a relação entre a e b?”
Nesses casos, a resolução envolve a montagem de uma equação com o determinante, que pode levar a equações de primeiro, segundo ou até terceiro grau.
Dica de estudo
As bancas examinadoras valorizam a capacidade de conectar o determinante a outros conceitos matemáticos. Por isso, não se limite a decorar a Regra de Sarrus ou a fórmula de matriz 2×2.
Invista seu tempo em dominar as propriedades do determinante e entender a fundo como o valor se comporta em operações como a multiplicação de matrizes, a transposição ou a multiplicação por um escalar. Saber que o determinante de um produto é o produto dos determinantes, por exemplo, pode economizar tempo precioso na prova.
Além disso, é fundamental conectar o determinante a temas como a inversão de matrizes e sistemas de equações lineares. Questões que pedem para analisar a invertibilidade de uma matriz ou a natureza de um sistema linear são muito comuns. Treine bastante a Regra de Cramer, pois ela é uma aplicação direta do determinante e uma ferramenta poderosa para resolver sistemas pequenos.
Por fim, resolva exercícios de fixação e, principalmente, provas anteriores de concursos como a EsPCEx, ESA e AFA. Isso te dará uma noção exata do nível de dificuldade e dos tipos de questões que você pode encontrar.
Teste seus conhecimentos
Para que você possa solidificar o conhecimento sobre determinantes e entender como o tema é cobrado nos principais concursos militares, preparamos uma questão para você. Para ter acesso a milhares de questões resolvidas e gabaritadas, convidamos você a conhecer o Banco de Questões do Estratégia Militares. A prática constante é o segredo para conquistar a sua aprovação.
Confira essa questão da EsPCEx 2020:
ALTERNATIVA: C
Para acessar a resolução completa, clique aqui.
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