Se você tem o sonho de ingressar em algum dos seletivos das Forças Armadas, sabe que a matéria de Matemática é uma das mais cobradas nas avaliações. Dentro dos conhecimentos básicos para o tema de funções, já trouxemos para você os resumos de par ordenado e produto cartesiano. Agora, entenda o que é Relação Binária e seus tipos!
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Qual a definição de relação binária?
A relação entre dois elementos de conjuntos diferentes que seguem a mesma propriedade é chamada de Relação Binária. Uma relação binária 𝑅 de 𝐴 em 𝐵 é dada por:
Observe que x pertence ao conjunto A e y, ao conjunto B. Além disso, 𝑝(𝑥, 𝑦) representa o critério de relacionamento entre os elementos x e y, ou seja, sua propriedade.
Assim, vemos que R é um subconjunto de A x B e podemos afirmar que:
- 𝑅 ⊂ 𝐴 𝑥 𝐵;
- 𝐴 é o conjunto de partida da relação 𝑅; e
- 𝐵 é o conjunto de chegada, ou contradomínio, da relação 𝑅.
Se (𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴 𝑥 𝐵 e 𝑝(𝑎, 𝑏) é verdadeira, podemos usar a notação:
𝑎 𝑅 𝑏 ou 𝑅(𝑎) = 𝑏
Agora, se queremos dizer que (𝑐, 𝑑) ∈ 𝐴 𝑥 𝐵 e 𝑝(𝑐, 𝑑) é falsa:
𝑐 𝑅 𝑑 ou 𝑅(𝑐) ≠ 𝑑
Chamamos de conjunto solução de uma relação binária o seguinte:
𝑆 = {(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴 𝑥 𝐵|𝑝(𝑎, 𝑏) é 𝑉}
O conjunto 𝑆 possui todos os elementos que satisfazem a propriedade da relação.
Domínio e Imagem
Para definirmos o que é o domínio e a imagem de uma relação binária R, considere que R é uma relação de A em B com 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑦 ∈ 𝐵.
Chamamos de Domínio de R o conjunto formado por todos os primeiros elementos dos pares ordenados da relação binária. Também é possível dizer que são todos valores possíveis no eixo das abscissas (x) de um plano cartesiano. Sua notação é dada por:
Já a Imagem de R é o conjunto de todos os segundos elementos dos pares ordenados da relação, cujos valores são representados no eixo das ordenadas (y) de um plano cartesiano. Veja a notação:
Confira a representação genérica de uma relação R de 𝐴 em 𝐵 no plano cartesiano. Seja 𝑅 ⊂ 𝐴 𝑥 𝐵:
Ao observar o exemplo acima, podemos notar que 𝐷𝑅 ⊂ 𝐴 e 𝐼𝑚𝑅 ⊂ 𝐵.
Tipos de Relação Binária
É possível classificar as relações binárias em alguns tipos, como:
- reflexiva;
- simétrica;
- antissimétrica; e
- transitiva.
Vamos explicar um pouco mais cada um deles! Para todas, considere 𝑅 ⊂ 𝐴2.
Reflexiva
A relação R é considerada reflexiva em A2 quando ∀𝒂 ∈ 𝑨, temos (𝒂, 𝒂) ∈ 𝑹. Como exemplo, pense que A = [0, 2] e 𝑅1, 𝑅2 ⊂ 𝐴2 representados no plano cartesiano:
Observe que 𝑅1 é reflexiva e 𝑅2, não. Para que a relação binária seja reflexiva, os elementos do conjunto devem conter a reta 𝑦 = 𝑥. No exemplo, apenas 𝑅1 satisfaz essa condição.
Simétrica
A relação 𝑹 é simétrica em 𝑨𝟐 quando para (𝒂, 𝒃) ∈ 𝑹, temos (𝒃, 𝒂) ∈ 𝑹. Veja o exemplo abaixo, em que 𝐴 = [0, 2] e 𝑅 ⊂ 𝐴2:
Antissimétrica
A relação 𝑹 é antissimétrica em 𝑨𝟐 quando (𝒂, 𝒃) ∈ 𝑹 e (𝒃, 𝒂) ∈ 𝑹, temos 𝒂 = 𝒃. Veja uma representação gráfica, em que 𝐴 = [0, 2] e 𝑅 ⊂ 𝐴2:
Transitiva
Agora, no caso de uma relação binária R em 𝑨𝟐 quando (𝒂, 𝒃) ∈ 𝑹 e (𝒃, 𝒄) ∈ 𝑹, temos (𝒂, 𝒄) ∈ 𝑹. Veja o exemplo para entender melhor:
𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℤ2|𝑥 − 𝑦 ⋮ 2}
- Para (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅, temos 𝑎 − 𝑏 = 2𝑘1, 𝑘1 ∈ ℤ.
- Para (𝑏, 𝑐) ∈ 𝑅, temos 𝑏 − 𝑐 = 2𝑘2, 𝑘2 ∈ ℤ.
Somando as duas equações, obtemos:
𝑎 − 𝑐 = 2(𝑘1 + 𝑘2) = 2𝑘3
⇒ (𝑎, 𝑐) ∈ 𝑅
∴ 𝑅 é transitiva
Nesse exemplo, também podemos ter outras classificações para 𝑅. Veja:
∀𝑎 ∈ ℤ, 𝑎 − 𝑎 = 0 = 2 ∙ 0
⇒ (𝑎, 𝑎) ∈ 𝑅
∴ 𝑅 é reflexiva
Se (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅, temos 𝑎 − 𝑏 = 2𝑘, 𝑘 ∈ ℤ. Se multiplicamos a equação por −1, obtemos:
𝑏 − 𝑎 = 2(−𝑘)
Disso, concluímos que (𝑏, 𝑎) ∈ 𝑅. Ou seja, R também é simétrica.
Outras classificações
É possível que uma relação tenha mais de uma classificação ao mesmo tempo. Isso resulta em outros dois tipos de relação binária:
- 𝑹 é uma relação de equivalência quando é, simultaneamente, reflexiva, simétrica e transitiva; e
- 𝑹 é uma relação de ordem quanto é, simultaneamente, reflexiva, antissimétrica e transitiva.
Existe ainda uma relação específica, chamada de relação de identidade. Ela é dada por:
{(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴2|𝑥 = 𝑦}
Relação inversa
Se quisermos descobrir o inverso de uma relação binária, precisamos calcular 𝑅−1, sendo 𝑅 ⊂ 𝐴 𝑥 𝐵. Assim, a notação se apresenta da seguinte forma:
A relação inversa 𝑅−1 é obtida invertendo-se a ordem dos pares ordenados da relação 𝑅. Como exemplo, considere 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ|1 ≤ 𝑥 ≤ 2} e 𝐵 = {𝑦 ∈ ℝ|2 ≤ 𝑦 ≤ 4}. Vamos representar no plano cartesiano as relações 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 𝑥 𝐵|𝑦 = 2𝑥} e sua inversa 𝑅−1:
Perceba que os gráficos de 𝑅 e 𝑅−1 são simétricos em relação à reta 𝑦 = 𝑥. Se usarmos a definição de 𝑅 ser simétrica, temos:
- 𝑅 é simétrica se (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅, temos (𝑏, 𝑎) ∈ 𝑅
Porém, se vemos a definição da inversa de 𝑅:
(𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 ⇒ (𝑏, 𝑎) ∈ 𝑅−1
Assim, como 𝑅 é simétrica, (𝑏, 𝑎) também pertence a 𝑅:
(𝑏, 𝑎) ∈ 𝑅 ⇒ (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅−1
Logo, todos os elementos de 𝑅 também pertencem a 𝑅−1. Disso, concluímos:
𝑹 é simétrica ⇔ 𝑹 = 𝑹−𝟏
Relação Composta
Outra relação que podemos estabelecer é a relação composta. Ela acontece quando temos mais do que dois conjuntos, em que 𝑅 ∈ 𝐴 𝑥 𝐵 e 𝑇 ∈ 𝐵 𝑥 𝐶. Ou seja, A é o domínio e B seu contradomínio, ao mesmo tempo que B também é o domínio do contradomínio C.
Se 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑐 ∈ 𝐶, temos:
𝑎 𝑅 𝑏 ⇒ 𝑅(𝑎) = 𝑏
𝑏 𝑇 𝑐 ⇒ 𝑇(𝑏) = 𝑐
Para estabelecer uma relação composta entre R e T, temos:
𝑅(𝑎) = 𝑏 𝑒 𝑇(𝑏) = 𝑐 ⇒ 𝑇(𝑅(𝑎)) = 𝑐
Obs: 𝑇(𝑅(𝑎)) pode ser reescrita como 𝑇𝑜𝑅(𝑎), essa é a notação usual para representar uma relação composta de 𝑅 com 𝑇.
A partir disso, veja como fica a definição da relação composta:
𝑇𝑜𝑅 = {(𝑎, 𝑐) ∈ 𝐴 𝑥 𝐶|∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 𝑒 (𝑏, 𝑐) ∈ 𝑇}
Confuso? Também podemos demonstrar essa relação de forma mais visual por meio do diagrama de flechas.
Atenção! Um erro muito comum ao ver a nomenclatura 𝑇𝑜𝑅 de 𝐴 em 𝐶 é inverter a ordem das relações devido a 𝑇 estar escrito antes de 𝑅.
Para solucionar esse problema, devemos entender que 𝑇𝑜𝑅 = 𝑇(𝑅(𝑥)). Assim, vemos que 𝑥 nos levará a 𝑅(𝑥) e com 𝑅(𝑥) encontraremos 𝑇(𝑅(𝑥)). Ou, se a questão envolver um diagrama de flechas, basta lembrar que na relação composta as relações iniciam da direita para a esquerda:
Na prática!
Que tal ver um exercício comentado de relação composta para fixar melhor o conteúdo? Sejam os conjuntos 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5}, 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} e 𝐶 = {1, 2, 𝑎, 𝑏}. Encontre a relação composta 𝑇𝑜𝑅, sendo as relações 𝑅 e 𝑇 representadas pelo diagrama abaixo:
Ao observar o diagrama, lembramos que os elementos que possuem flechas saindo deles serão os primeiros elementos de um par ordenado e os elementos indicados por estas flechas serão os segundos elementos desse par ordenado.
No caso da relação R, vemos que o elemento 1 possui uma flecha saindo dela e esta chega em 𝑎 e 𝑏. Dessa forma, podemos escrever:
(1, 𝑎), (1, 𝑏) ∈ 𝑅
Analogamente para os outros elementos:
(3, 𝑐), (5, 𝑑) ∈ 𝑅
Assim, o conjunto R é dado por:
𝑅 = {(1, 𝑎), (1, 𝑏), (3, 𝑐), (5, 𝑑)}
Aplicando a mesma lógica para a relação T, temos:
𝑇 = {(𝑎, 1), (𝑐, 2), (𝑐, 𝑎), (𝑑, 𝑎), (𝑑, 𝑏)}
Agora, se quisermos estabelecer uma relação composta, devemos perceber que 𝑇𝑜𝑅 leva elementos do conjunto 𝐴 a elementos do conjunto 𝐶. Para encontrar quais são os pares ordenados dessa relação, devemos analisar o caminho que as flechas percorrem.
O elemento 1 do conjunto 𝐴 chega no elemento 𝑎 do conjunto 𝐵. Esse elemento 𝑎 chega no elemento 1 do conjunto 𝐶. Então, o elemento 1 do conjunto 𝐴 chega no elemento 1 do conjunto 𝐶. Assim, (1, 1) ∈ 𝑇𝑜𝑅.
Por outro lado, o elemento 1 do conjunto 𝐴 também chega no elemento 𝑏 do conjunto 𝐵. Porém, esse 𝑏 não chega em nenhum elemento do conjunto 𝐶. Então, esse caminho não retorna nenhum elemento da relação composta.
Aplicando a mesma lógica para os demais elementos:
3 → 𝑐 → 2 ⇒ (3, 2) ∈ 𝑇𝑜𝑅
3 → 𝑐 → 𝑎 ⇒ (3, 𝑎) ∈ 𝑇𝑜𝑅
5 → 𝑑 → 𝑎 ⇒ (5, 𝑎) ∈ 𝑇𝑜𝑅
5 → 𝑑 → 𝑏 ⇒ (5, 𝑏) ∈ 𝑇𝑜𝑅
Assim, a relação composta é dada por:
𝑇𝑜𝑅 = {(1, 1), (3, 2), (3, 𝑎), (5, 𝑎), (5, 𝑏)}
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