Um dos principais assuntos cobrados nos seletivos das Forças Armadas é o estudo das funções. No entanto, é necessário conhecer e compreender os conceitos de par ordenado e produto cartesiano antes de entrar no tema. Portanto, confira a definição e as propriedades deles neste artigo do Estratégia Militares!
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O que é par ordenado?
Na Matemática, temos situações em que a ordem dos elementos é importante para definir a solução de um problema. Considere o problema abaixo:
Encontrar 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ que satisfaça as equações:
Quando resolvemos a equação acima, encontramos x = 1 e y = 0. Se escolhêssemos representar a solução usando conjuntos, o resultado seria {1,0}. No entanto, quando o resultado é colocado entre chaves “{ }”, a ordem dos elementos não importa, de forma que {1, 0} = {0, 1}.
Isso é o mesmo que dizer 𝑥 = 0 e 𝑦 = 1 como solução do sistema acima – o que não é verdade. Por isso, para que a resolução desse problema esteja correta, devemos usar o conceito de par ordenado:
(𝑥, 𝑦) = (1, 0)
Para definir um par ordenado, usamos os parênteses “( )” no lugar das chaves “{ }”. Como a ordem dos elementos importa, temos:
(1, 0) ≠ (0, 1)
Assim, utilizando a definição de par ordenado elaborada pelo matemático Kuratowski, temos que:
Podemos usar essa definição para representar mais variáveis:
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = {{𝑥}, {𝑥, 𝑦}, {𝑥, 𝑦, 𝑧}}
Nesse caso, chamamos (𝑥, 𝑦, 𝑧) de tripla ordenada. Agora, para fazer o que chamamos de n-upla ordenada (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) temos:
(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) = {{𝑥1}, {𝑥1, 𝑥2}, … , {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛}}
Teorema
O par ordenado também conta com algumas propriedades. Observe abaixo o teorema:
Usando a definição de Kuratowski, temos:
(𝑎, 𝑏) = (𝑐, 𝑑)
{{𝑎}, {𝑎, 𝑏}} = {{𝑐}, {𝑐, 𝑑}}
Pela igualdade, podemos escrever:
Resolvendo os sistemas:
{𝑎} = {𝑐} ⇒ 𝑎 = 𝑐
{𝑎, 𝑏} = {𝑐, 𝑑} ⇒ 𝑏 = 𝑑, já que 𝑎 = 𝑐
Nesse caso, 𝑎 = 𝑐 e 𝑏 = 𝑑.
{𝑎} = {𝑐, 𝑑} ⇒ 𝑎 = 𝑐 = 𝑑
{𝑎, 𝑏} = {𝑐} ⇒ 𝑎 = 𝑏 = 𝑐
⇒ 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 𝑑
Nesse caso, todos os elementos são iguais e 𝑎 = 𝑐 e 𝑏 = 𝑑 também é válido.
Com isso, concluímos:
(𝑎, 𝑏) = (𝑐, 𝑑) ⇔ 𝑎 = 𝑐 𝑒 𝑏 = 𝑑
O que é produto cartesiano?
Você sabia que os pares ordenados podem ser representados em um plano cartesiano ortogonal? Ele foi criado pelo matemático René Descartes para mostrar alguns pontos no espaço e pode ser entendido como um mapa, já que é um sistema de coordenadas (x,y).
Observe a seguinte representação:
O eixo x, também chamado de 0x, leva o nome de eixo das abcissas. Já o eixo y, ou 0y, é chamado de eixo das ordenadas. Eles são perpendiculares entre si, ou seja, têm um ângulo de 90o no ponto de intersecção.
O ponto de encontro entre os eixos é chamado de origem do sistema e é representado por ponto (0,0) ou ponto 0. Ainda não entendeu a utilidade do plano cartesiano? Então, pense que precisa localizar os pontos A, B, C, D e a única informação que você dispõe são as coordenadas:
𝐴(1, 0); 𝐵(−2, 2); 𝐶(1, 4); 𝐷(−1, −2)
Considere o primeiro elemento do par ordenado como sendo do eixo x e o segundo, como elemento do eixo y. Assim, localizando A, B, C, D no plano, temos:
Agora, e se quisermos multiplicar dois pontos em um plano cartesiano? Esse é o conceito do Produto Cartesiano!
Se 𝐴 e 𝐵 são dois conjuntos não vazios, o produto cartesiano entre eles é representado pela notação:
𝐴 𝑥 𝐵 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑦 ∈ 𝐵}
𝐴 𝑥 𝐵 deve ser lido como “𝐴 cartesiano 𝐵”. 𝐴 𝑥 𝐵 é um conjunto cujos elementos são pares ordenados da forma (𝑥, 𝑦). Assim, se 𝐴 = {2, 3} e 𝐵 = {0, 1, 2}, podemos dizer que:
- 1) 𝐴 𝑥 𝐵 = {(2, 0), (2, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 1), (3, 2)}
- 2) 𝐵 𝑥 𝐴 = {(0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}
Perceba que no produto cartesiano devemos escrever todas as combinações possíveis entre os elementos dos conjuntos envolvidos. Desse modo, podemos escrever a seguinte relação:
𝑛(𝐴 𝑥 𝐵) = 𝑛(𝐴) ∙ 𝑛(𝐵)
Além disso, o produto cartesiano não é limitado a apenas dois conjuntos – podem ser quantos n conjuntos quiser:
𝐴1 𝑥 𝐴2 𝑥 𝐴3 𝑥 … 𝑥 𝐴𝑛 = {(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 )|𝑥1 ∈ 𝐴1 ∧ 𝑥2 ∈ 𝐴2 ∧ 𝑥3 ∈ 𝐴3 ∧ … ∧ 𝑥𝑛 ∈ 𝐴𝑛}
Nesse caso, calculamos o número de elementos do conjunto pela seguinte fórmula:
𝑛(𝐴1 𝑥 𝐴2 𝑥 … 𝑥𝐴𝑛) = 𝑛(𝐴1) ∙ 𝑛(𝐴2) ∙ … ∙ 𝑛(𝐴𝑛)
Quer um exemplo? Veja o produto cartesiano de três conjuntos, em que 𝐴 = {1, 2}, 𝐵 = {2, 3} e 𝐶 = {3, 4}:
𝐴 𝑥 𝐵 𝑥 𝐶 = {(1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 3), (1, 3, 4), (2, 2, 3), (2, 2, 4), (2, 3, 3), (2, 3, 4)}
Propriedades
É possível listar cinco propriedades do produto cartesiano:
- P1) 𝐴 𝑥 ∅ = ∅
- P2) 𝐴 𝑥 𝐵 ≠ 𝐵 𝑥 𝐴, com 𝐴 ≠ 𝐵 e não vazios
- P3) 𝐴2 = 𝐴 𝑥 𝐴
- P4) 𝐴 𝑥 (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 𝑥 𝐵) ∪ (𝐴 𝑥 𝐶)
- P5) 𝐴 𝑥 (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝑥 𝐶)
A primeira e a segunda propriedade são mais simples de serem entendidas. Demonstraremos as três últimas para facilitar o entendimento!
Ao analisarmos a propriedade P3, percebemos que se tomarmos 𝐴 = ℝ, temos ℝ2 = ℝ 𝑥 ℝ. Ou seja, podemos representar o produto cartesiano no próprio plano cartesiano. Pegue, por exemplo A = {1, 2, 3} e 𝐵 = {1, 2}.
𝐴 𝑥 𝐵 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}
Outra forma de representar o produto cartesiano é por meio do diagrama de flechas:
Já na quarta propriedade, indicada por P4) 𝐴 𝑥 (𝐵 ∪ 𝐶) = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶)} = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∨ 𝑦 ∈ 𝐶)} podemos aplicar a distributiva a seguir:
{(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∨ 𝑦 ∈ 𝐶)} = {(𝑥, 𝑦)|(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)}
Veja que (𝐴 𝑥 𝐵) = {(𝑥, 𝑦)|(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)} e (𝐴 𝑥 𝐶) = {(𝑥, 𝑦)|(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)}, então:
{(𝑥, 𝑦)|(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)} = (𝐴 𝑥 𝐵) ∪ (𝐴 𝑥 𝐶)
∴ 𝐴 𝑥 (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 𝑥 𝐵) ∪ (𝐴 𝑥 𝐶)
Por fim, na quinta propriedade P5) 𝐴 𝑥 (𝐵 ∩ 𝐶) = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)} = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)} também podemos aplicar a distributiva:
{(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)} = {(𝑥, 𝑦)|(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)}
{(𝑥, 𝑦)|(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)} = (𝐴 𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝑥 𝐶)
∴ 𝐴 𝑥 (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝑥 𝐶)
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Texto escrito com base no conteúdo elaborado pelo Prof. Victor So.
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