A função afim, também chamada de função do 1º grau, é fundamental para aqueles que estudam para concursos. Ela é expressa por f(x) = ax + b. Seu estudo proporciona insights valiosos sobre coeficientes, gráficos e comportamentos de crescimento ou decrescimento, todos elementos cruciais para o domínio das matemáticas básicas e avançadas.
Na função afim, é importante entender o papel do coeficiente angular (a) e do termo constante (b), que definem a inclinação e o ponto de interseção da reta no plano cartesiano. Além disso, saber como construir o gráfico de uma função do 1º grau e distinguir entre funções crescentes e decrescentes é muito importante. Então, prepare-se para aprofundar seus conhecimentos!
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Coeficiente angular e linear da função afim
A função afim, também conhecida como função do primeiro grau, é representada pela fórmula f(x) = ax + b, onde “a” e “b” são números reais. Tais parâmetros desempenham um papel fundamental na definição do comportamento e da representação gráfica dessa função.
Coeficiente Angular
O coeficiente angular, representado pela variável “a” na fórmula f(x) = ax + b, determina a inclinação da reta no plano cartesiano. Esse valor está diretamente relacionado à taxa de variação de y em função de x. Em termos práticos, o coeficiente angular revela se a função é crescente ou decrescente:
- Função crescente: Quando o coeficiente angular (a) é positivo, a reta sobe da esquerda para a direita. Isso significa que à medida que x aumenta, y também aumenta. Por exemplo, na função f(x) = 2x + 3, o coeficiente a é 2, configurando uma função crescente.
- Função decrescente: Quando o coeficiente angular (a) é negativo, a reta desce da esquerda para a direita. Ou seja, à medida que x aumenta, y diminui. Um exemplo seria f(x) = -3x + 2, onde a é -3, indicando uma função decrescente.
O coeficiente angular é crucial para entender a dinâmica da reta e prever como ela se comporta para diferentes valores de x.
Coeficiente Linear
O coeficiente linear, representado pela variável “b” na fórmula f(x) = ax + b, indica o ponto de interseção da reta com o eixo y. Este é o valor de f(x) quando x é igual a zero, ou seja, o ponto onde a reta corta o eixo vertical.
No contexto gráfico, esse coeficiente é significativo pelas seguintes razões:
- Interseção com o eixo y: O valor de b é onde a reta toca o eixo y. Por exemplo, na função f(x) = 2x + 3, o coeficiente linear é 3, significando que quando x é 0, y = 3. Isso coloca a interseção da reta com o eixo y no ponto (0, 3).
- Deslocamentos verticais: O coeficiente linear altera a posição da reta no eixo y de forma vertical. Se b aumenta, a reta se desloca para cima; se b diminui, a reta se desloca para baixo.
Este parâmetro também é essencial para desenhar o gráfico da função, pois define um ponto fixo de referência, que é crucial para a construção da reta a partir de dois pontos.
Exemplos e Análise Gráfica
Vamos explorar alguns exemplos práticos para reforçar o entendimento dos coeficientes angular e linear através de gráficos:
Exemplo 1: f(x) = 2x + 3
Para esta função:
- Coeficiente angular (a): 2
- Coeficiente linear (b): 3
Gráfico:
- Interseção no eixo y: (0, 3)
- Outro ponto encontrando: (1, 5)
Este gráfico será uma reta crescente que intercepta o eixo y no ponto (0, 3).
Exemplo 2: f(x) = -3x + 1
Para esta função:
- Coeficiente angular (a): -3
- Coeficiente linear (b): 1
Gráfico:
- Interseção no eixo y: (0, 1)
- Outro ponto encontrando: (1, -2)
Esta reta será decrescente, interceptando o eixo y no ponto (0, 1).
Relação entre os Coeficientes e o Gráfico
A compreensão desses coeficientes é crucial para dominar as funções afins. Eles não apenas ditam a forma e a posição da reta no plano cartesiano, mas também fornecem informações valiosas para resolver problemas e entender situações práticas onde esses conceitos matemáticos são aplicados.
Gráfico da função do 1º grau: como construir
Construir o gráfico de uma função afim, também conhecida como função do 1º grau, é uma habilidade essencial A função afim possui a forma geral f(x) = ax + b, onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. Estes coeficientes determinam a inclinação da reta e o ponto de interseção com o eixo y, respectivamente.
Identificação dos coeficientes
Para começar, é crucial identificar os coeficientes a e b na função. O coeficiente angular (a) indica a taxa de variação da função, enquanto o coeficiente linear (b) representa o ponto onde a reta corta o eixo y (Oy).
Exemplo: Na função f(x) = 2x + 3, o coeficiente angular a é igual a 2, e o coeficiente linear b é igual a 3.
Escolha de pontos para traçar o gráfico
Para desenhar o gráfico de uma função afim, é suficiente determinar dois pontos distintos e traçar a reta que os une. De forma prática, esses pontos são usualmente escolhidos onde a função corta os eixos Ox e Oy, ou seja, quando x = 0 e quando y = 0.
- Procedimento:
- Quando x = 0: y = b
- Quando y = 0: 0 = ax + b ⇒ x = -b/a
Cálculo de pontos no exemplo f(x) = 2x + 3
Vamos calcular os pontos para essa função e traçá-los passo a passo:
- Para x = 0:
f(0) = 2(0) + 3 = 3Portanto, o ponto é (0, 3).
- Para y = 0:
0 = 2x + 3 ⇒ x = -3/2 = -1.5Portanto, o ponto é (-1.5, 0).
Traçando o gráfico
- Desenhe o plano cartesiano com os eixos x e y.
- Marque os pontos calculados:
- (0, 3): onde a reta corta o eixo y;
- (-1.5, 0): onde a reta corta o eixo x.
- Conecte os pontos com uma reta, formando o gráfico da função.
Visualização do gráfico
y
| /
| /
3 | /
| /
| /
| /
| /
|/_______________ x
-1.5
Verificação de outros pontos
Para garantir a precisão do gráfico, pode-se calcular valores adicionais:
- Para x = 1:
f(1) = 2(1) + 3 = 5Ponto: (1, 5)
- Para x = -2:
f(-2) = 2(-2) + 3 = -1Ponto: (-2, -1)
Resumo dos pontos e gráfico detalhado
| x | f(x) |
|---|---|
| -2 | -1 |
| -1.5 | 0 |
| 0 | 3 |
| 1 | 5 |
| 2 | 7 |
Diferença entre função crescente e decrescente
No estudo das funções afim é crucial compreender as características e diferenças entre funções crescentes e decrescentes. Essas variações determinam como os valores de ( f(x) ) respondem às mudanças em ( x ) e podem ser identificadas através da análise do coeficiente angular, ( a ).
Função crescente
Uma função afim é crescente quando, ao atribuirmos valores cada vez maiores para ( x ), os resultados de ( f(x) ) também aumentam. Isso significa que a inclinação da reta que representa a função é positiva. De maneira formal, se ( a > 0 ) em ( f(x) = ax + b ), então a função é crescente.
Exemplos de função crescente
Tomemos a função ( f(x) = 2x + 3 ). Sendo ( a = 2 ) (um valor positivo), sabemos que a função é crescente. Para visualizar, podemos calcular alguns valores de ( f(x) ):
- ( f(0) = 2(0) + 3 = 3 )
- ( f(1) = 2(1) + 3 = 5 )
- ( f(2) = 2(2) + 3 = 7 )
À medida que ( x ) aumenta, ( f(x) ) também aumenta, confirmando que a função é crescente.
Função decrescente
Por outro lado, uma função afim é decrescente quando, ao atribuirmos valores cada vez maiores para ( x ), os resultados de ( f(x) ) diminuem. Neste caso, a inclinação da reta é negativa. Em termos matemáticos, se ( a < 0 ) em ( f(x) = ax + b ), então a função é decrescente.
Exemplos de função decrescente
Consideremos a função ( g(x) = -3x + 4 ). Aqui, ( a = -3 ) (um valor negativo), indicando que a função é decrescente. Vamos calcular alguns valores de ( g(x) ):
- ( g(0) = -3(0) + 4 = 4 )
- ( g(1) = -3(1) + 4 = 1 )
- ( g(2) = -3(2) + 4 = -2 )
Neste caso, à medida que ( x ) aumenta, ( g(x) ) diminui, evidenciando a natureza decrescente da função.
Comparação visual e comportamental
Para melhor compreensão, é possível observar graficamente como as funções crescentes e decrescentes se comportam. As funções crescentes possuem gráficos que sobem da esquerda para a direita, enquanto as funções decrescentes caem nesse mesmo sentido. Esta representação gráfica é essencial para visualizar a diferença na inclinação das retas.
O coeficiente angular ( a ) é a chave para determinar se uma função afim é crescente ou decrescente. Quando ( a > 0 ), a função é crescente, e quando ( a < 0 ), a função é decrescente. Compreender essa diferença é fundamental para a análise de funções e a interpretação de seus gráficos em contextos matemáticos e práticos.
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