GABARITO: 𝑪𝑴 = 𝒍/𝟐 b) 𝑪Â𝑩 = 𝟔𝟕, 𝟓°, 𝑩̂𝑪𝑨 = 𝟗𝟎°, 𝑨𝑩̂𝑪 = 𝟐𝟐, 𝟓°

Pelo enunciado, temos a seguinte figura:

a) Queremos calcular o valor de 𝐶𝑀.

Analisando a figura, podemos ver que 𝐶𝐻 é mediatriz do triângulo 𝐴𝐷𝐶, pois esse segmento é altura e bissetriz do triângulo. Desse modo, 𝐴𝐻 = 𝐻𝐷 = 𝑎. Como 𝑀 é o ponto médio do segmento 𝐴𝐵, temos 𝐴𝑀 = 𝑀𝐵. Então, se 𝐷𝑀 = 𝑏, temos 𝑀𝐵 = 𝑎 + 𝑎 + 𝑏 = 2𝑎 + 𝑏.

Vamos aplicar o teorema da bissetriz interna nos triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐵𝐶𝐷:

Igualando (𝐼) e (𝐼𝐼):

Podemos tentar encontrar o valor de 𝛼. Analisando os triângulos 𝐴𝐻𝐶 e 𝑀𝐻𝐶:

Dividindo (𝐼𝑉) por (𝐼𝐼𝐼):

Esse valor de tangente é conhecido como 45°/2, então:

𝛼 = 45°/2 = 22,5°

Assim, podemos ver que o triângulo 𝐴𝐵𝐶 é retângulo em 𝐶. Como 𝑀 é o ponto médio do segmento 𝐴𝐵 e Δ𝐴𝐵𝐶 é retângulo, temos que Δ𝐴𝐵𝐶 pode ser inscrito em uma circunferência e 𝑀 é o seu centro. Logo, 𝐶𝑀 = 𝐴𝑀 = 𝐵𝑀 = 𝑙/2.

b) Analisando os ângulos internos do triângulo, obtemos:

Gabarito: