GABARITO: ALTERNATIVA C.

Podemos observar no Δ𝐴𝐵𝐶 que 𝛼 + 𝜃 + (90° + 𝜃) = 180°, então:

𝛼 + 2𝜃 = 90° (𝐼)

Aplicando a lei dos senos nesse triângulo:

3𝑥/(𝑠𝑒𝑛(90° + 𝜃)) = 𝐵𝐶/ 𝑠𝑒𝑛 𝛼

(3𝑥 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝛼) / cos 𝜃 = 𝐵𝐶 (𝐼𝐼)

Usando a lei dos senos no Δ𝐵𝐶𝐷:

2𝑥 / 𝑠𝑒𝑛(90°) = 𝐵𝐶/(𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝜃))

Da relação (𝐼), temos:

𝛼 + 2𝜃 = 90° ⇒ 𝛼 + 𝜃 = 90° − 𝜃

Logo:

2𝑥/ 𝑠𝑒𝑛(90°) = 𝐵𝐶 / (𝑠𝑒𝑛(90° − 𝜃)) ⇒ 2𝑥 = 𝐵𝐶/ cos 𝜃 (𝐼𝐼𝐼)

Substituindo 𝐵𝐶 de (𝐼𝐼) em (𝐼𝐼𝐼):

2𝑥 = (3𝑥 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝛼)/ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ⋅ 1/cos 𝜃 ⇒ 2 = (3 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝛼)/ cos² 𝜃 ⇒ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 2/3 cos² 𝜃

Sabendo que cos 2𝜃 = 2 cos² 𝜃 − 1, podemos escrever:

2 cos² 𝜃 = cos 2𝜃 + 1

⇒ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = (cos 2𝜃 + 1)/3

De (𝐼), temos 2𝜃 = 90° − 𝛼:

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = (cos(90° − 𝛼) + 1)/3 ⇒ 3𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 1 ⇒ 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 1/2

Lembrando que 𝛼 < 90°, então:

𝛼 = 30°