GABARITO: ALTERNATIVA A

Veja, sabemos que a área de um triângulo pode ser dada em função dos lados e do raio da circunferência circunscrita como segue:

Por outro lado, se pede valor máximo de algo. Portanto, precisamos incluir alguma desigualdade nessa resolução. Como estamos lidando com produto de três termos acima, podemos usar a desigualdade das médias:

Entretanto, temos outra fórmula para área de um triângulo em função do seu semiperímetro e raio da circunferência inscrita r:

Portanto, aplicando na desigualdade, temos:

Portanto, a área máxima pedida é:

Veja que essa área máxima é conseguida apenas quando o triângulo é equilátero, pois é quando a igualdade é admitida na desigualdade das médias (a=b=c). Sabemos que a área do triângulo equilátero de lado a é:

E que R=a√3/3. Assim, a²=3R². Portanto:

Substituindo na expressão:

E de fato, a área do círculo inscrito no triângulo equilátero é 1/4 da área do círculo circunscrito ao triângulo equilátero, afinal r=R/2 no triângulo equilátero.

Gabarito: A