Temos:

A área total S é a área de um cone de raio 𝑟₁ , mais a área de um cone de raio 𝑟₂, ambos com geratriz 𝑎, mais a área de um tronco de cone de raio 𝑟₁ 𝑒 𝑟₂. Assim, as áreas laterais são:

𝑟₁ = 𝑎. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑥. 𝑠𝑒𝑛(60 − 𝜃) = 𝑥. 𝑐𝑜𝑠(90 − (60 − 𝜃)) = 𝑥. cos (30 + 𝜃);

𝑟₂ = 𝑎. 𝑠𝑒𝑛(𝜃 + 60)

S = Scone + Sco + Stronco

Scone = = 𝜋. 𝑎². 𝑠𝑒𝑛𝜃

Scone = 𝜋. 𝑎² . 𝑠𝑒𝑛(60 + 𝜃)

𝑆tronco = 𝜋. 𝑟₂ . (𝑥 + 𝑎) − 𝜋. 𝑟₁ . 𝑥 = 𝜋𝑎(𝑠𝑒𝑛(60 + 𝜃)(𝑥 + 𝑎) − 𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝜃)

𝑆tronco = 𝜋𝑎(𝑥(𝑠𝑒𝑛(60 + 𝜃) − 𝑠𝑒𝑛𝜃) + 𝑎. 𝑠𝑒𝑛(60 + 𝜃))

𝑆tronco = 𝜋𝑎(𝑥(2. 𝑠𝑒𝑛30. cos (30 + 𝜃)) + 𝑎. 𝑠𝑒𝑛(60 + 𝜃))

𝑆tronco = 𝜋𝑎(𝑥. cos (30 + 𝜃) + 𝑎. 𝑠𝑒𝑛(60 + 𝜃))

𝑆tronco = 𝜋𝑎൫𝑎. 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑎. 𝑠𝑒𝑛(60 + 𝜃)൯ = 𝜋𝑎ଶ(𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑠𝑒𝑛(60 + 𝜃))

𝑆 = 𝜋𝑎²(𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑠𝑒𝑛(60 + 𝜃) + 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑠𝑒𝑛(60 + 𝜃))

𝑆 = 2𝜋𝑎²(𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑠𝑒𝑛(60 + 𝜃))

𝑆 = 2𝜋𝑎²(2. cos(−30) . 𝑠𝑒𝑛(30 + 𝜃)) = 2√3𝜋𝑎² . 𝑠𝑒𝑛(30 + 𝜃)

𝑆 = 2√3𝜋𝑎² . 𝑠𝑒𝑛(30 + 𝜃) = 3𝜋𝑎²

𝑠𝑒𝑛(30 + 𝜃) = √3/2 → 30 + 𝜃 = 60 → 𝜃 = 30