GABARITO: ALTERNATIVA A

Muita atenção nessa questão! Ao ler o enunciado, pensaríamos que para gerar um triângulo isósceles através da projeção ortogonal de um triângulo equilátero, deveríamos ter um lado do triângulo equilátero paralelo ao plano de projeção. Mas a questão diz que o ângulo desigual do triângulo isósceles mede 𝟑𝟎°, ou seja, esse ângulo é menor que o ângulo do vértice correspondente do triângulo que o gerou. Desse modo, para a projeção ortogonal desse triângulo equilátero ser um triângulo isósceles que satisfaz as condições do enunciado, a altura do triângulo equilátero deve ser paralela ao plano de projeção. Assim, do enunciado, podemos desenhar as seguintes figuras:

𝐴𝐵𝐶 é o triângulo equilátero e 𝐴𝐵′𝐶′ é sua projeção ortogonal ao plano 𝛼. Note que as alturas desses triângulos são congruentes. Aplicando a lei dos cossenos no Δ𝐴𝐵′𝐶′, temos:

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo 𝐴𝐵′𝐻:

A questão pede o cosseno do ângulo do plano do triângulo equilátero com o plano de projeção. Perceba que esse valor é a razão 𝐵′𝐶′/𝐵𝐶, logo:

cos 𝜃 = 𝑐/𝑎 = 2√3 − 3