Temos a figura abaixo:

Seja o ponto F tal que

e, dessa forma, temos que F é ponto médio de BE. Assim, no triângulo ABE, DF é uma base média e, por isso, é paralela a AE. Agora, olhando para o triângulo CDF, temos que E é ponto médio do lado CF e, como vimos, temos que EG é paralela a DF. Sabemos que uma reta paralela a um lado passando pelo ponto médio de um dos outros dois lados do triângulo configura uma base média, ou seja, GE é base média do triângulo CDF. Dessa forma, observamos que G é ponto médio de CD, ou seja,

Por outro lado, o triângulo ADG é isósceles de base AD uma vez que tem dois lados iguais. Por isso, temos que

Assim, olhando para o triângulo AGC, verificamos que é isósceles de base AC, uma vez que tem dois lados iguais. Dessa forma, os dois ângulos adjacentes à base também são iguais e, com isso, temos

∠𝐴𝐶𝐺 = ∠𝐶𝐴𝐺 = 𝑥

Com isso, observamos que o ângulo ∠𝐴𝐺𝐷 é externo ao triângulo AGC, ou seja, tal ângulo é igual à soma dos ângulos não adjacentes a ele, ou seja,

∠𝐴𝐺𝐷 = ∠𝐴𝐶𝐺 + ∠𝐶𝐴𝐺 = 𝑥 + 𝑥 = 2𝑥

Por último, do enunciado, temos que

∠𝐺𝐷𝐴 = ∠𝐺𝐴𝐷 = 𝑦

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, ou seja,

∠𝐺𝐷𝐴 + ∠𝐺𝐴𝐷 + ∠𝐴𝐺𝐷 = 𝑦 + 𝑦 + 2𝑥 = 180°

⇒ 2𝑦 + 2𝑥 = 2(𝑥 + 𝑦) = 180○ ⇒ 𝑥 + 𝑦 = 180°/2 = 90°

Entretanto, observe que

𝐷Â𝐶 = 𝐷Â𝐺 + 𝐺Â𝐶 = 𝑦 + 𝑥 = 90°