GABARITO: ALTERNATIVA A

Temos a seguinte sequência:

(𝑎, 𝑎𝑞, 𝑎𝑞²2)

Do enunciado:

𝑎 + 𝑎𝑞 + 𝑎𝑞² = 13 ⇒ 𝑎(1 + 𝑞 + 𝑞²) = 13 ⇒ 𝑎𝑎2(1 + 𝑞 + 𝑞²)² = 13² (𝑒q.𝐼)

𝑎² + 𝑎²𝑞² + 𝑎²𝑞⁴ = 91 ⇒ 𝑎²(1 + 𝑞² + 𝑞⁴) = 13 ⋅ 7 (𝑒𝑞.𝐼𝐼)

Dividindo-se a 𝑒𝑞.𝐼 pela 𝑒𝑒𝑒𝑒.𝐼𝐼:

Perceba que

1 + 𝑞² + 𝑞⁴ = 1 + 2𝑞² + 𝑞⁴ − 𝑞² = (1 + 𝑞²)² − 𝑞² = (1 − 𝑞 + 𝑞²)(1 + 𝑞 + 𝑞²)

Assim, temos:

Como 1 + 𝑞 + 𝑞² ≠ 0 (pois o discriminante é negativo), podemos simplificar a fração, logo:

⇒ 6𝑞² − 20𝑞 + 6 = 0

⇒ 3𝑞² − 10𝑞 + 3 = 0

Resolvendo a equação:

𝑃 crecente→ 𝑞 = 3

Substituindo a razão na 𝑒q.𝐼:

𝑎𝑎(1 + 3 + 32) = 13 ⇒ 𝑎𝑎(13) = 13 ⇒ 𝑎𝑎 = 1

A sequência é

(𝑎, 𝑎𝑞, 𝑎𝑞²) = (1, 3, 9)

Justapondo-se os termos:

139

Fazendo a divisão de 139 por 23, obtemos como resto:

139 = 23 ⋅ 6 + 1

∴ 𝑟 = 1

Gabarito: “a”.