GABARITO: ALTERNATIVA D

Antes de tentar resolver a equação cúbica, vamos fazer a transformação 𝑦 = cos(𝑥). Ficamos com:

𝑃(𝑦) = 2𝑦³ − 𝑦² − 2𝑦 + 1 = 0

O teorema das raízes racionais diz que, se houver raiz racional num polinômio de coeficientes inteiros, e se a fração da raiz estiver em sua forma irredutível, então o denominador divide o coeficiente do termo líder e o numerador divide o termo independente. Assim, suponhamos que exista 𝑝/𝑞 raiz racional do polinômio acima, 𝑞 > 0, de modo que mmc(𝑝, 𝑞) = 1. Então, 𝑝 ∈ {1, −1} e 𝑞 ∈ {1,2}. Por inspeção, verifica-se que 𝑟 = 1/2 é raiz do polinômio (poderíamos ter verificado outra).

Após a divisão polinomial de 𝑃(𝑦) por (𝑦 − 𝑟) = (𝑦 − 1/2), ficamos com um fator quadrático, mas que facilmente se fatora usando produtos notáveis:

𝑃(𝑦) = (𝑦 − 1/2) ⋅ (2𝑦² − 2) = (2𝑦 − 1) ⋅ (𝑦² − 1) = (2𝑦 − 1) ⋅ (𝑦 − 1) ⋅ (𝑦 + 1)

Dessa maneira, as raízes de 𝑃 são 𝑦 = 1/2, 𝑦 = 1 e 𝑦 = −1. Lembrando que 𝑦 = cos 𝑥, temos, no intervalo [0, 2𝜋]:

cos 𝑥 = 1/2 ⇒ 𝑥 = 𝜋/3 ∨ 𝑥 = 5𝜋/3

cos 𝑥 = 1 ⇒ 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 2𝜋

cos 𝑥 = −1 ⇒ 𝑥 = 𝜋

Logo, a soma das raízes é 𝜋/3 + 5𝜋/3 + 0 + 2𝜋 + 𝜋 = 5𝜋.