GABARITO: ALTERNATIVA A

Temos uma PA cuja soma é 244. Seja 𝑎₁, o primeiro termo, 𝑟, a razão e 𝑛, o número de termos, podemos escrever:

Do enunciado, (𝑎₁, 𝑟, 𝑛) é uma PA de razão 𝑟′ = 1. Então, vamos escrever as relações dessa PA:

𝑟 = 𝑎₁ + 1 ⇒ 𝑎₁ = 𝑟 − 1

𝑛 = 𝑟 + 1

Substituindo 𝑟, 𝑛 na equação da soma para descobrir o valor de 𝑎₁:

Simplificando a equação:

{2(𝑟 − 1) + 𝑟²}(𝑟 + 1) = 488

(𝑟² + 2𝑟 − 2)(𝑟 + 1) = 488

𝑟³ + 2𝑟² − 2𝑟 + 𝑟² + 2𝑟 − 2 = 488

𝑟³ + 3𝑟² − 490 = 0

Temos que descobrir as raízes dessa equação. Vamos isolar o número 490 no outro lado da igualdade:

𝑟³ + 3𝑟² = 490

𝑟²(𝑟 + 3) = 490

Note que 490 = 49 ∙ 10.

49 é um quadrado perfeito e pode ser escrito na forma 7².

𝑟²(𝑟 + 3) = 49 ∙ 10 = 7² ∙ 10

𝑟²(𝑟 + 3) = 7² ∙ 10

Vamos ver se 𝑟 = 7 é raiz, substituindo na equação acima:

7²(7 + 3) = 7² ∙ 10

7²10 − 7²10 = 0

∴ 𝑟 = 7 é raiz

Para encontrar as outras raízes, podemos aplicar o Algoritmo de Briot-Ruffini (ainda estudaremos esse assunto na aula de Polinômios). Veja:

Então, obtemos a seguinte equação:

𝑟³ + 3𝑟² − 490 = (𝑟 − 7)(𝑟² + 10𝑟 + 70) = 0

Calculando o delta da equação quadrática:

Δ = 𝑏² − 4𝑎𝑐 = 10² − 4 ∙ 1 ∙ 70 = −180 < 0

Portanto, a equação quadrática não possui raízes reais.

O único 𝑟 que satisfaz o problema é 𝑟 = 7.

(Todos os assuntos que não foram estudados ainda serão vistos futuramente, então não se preocupe se você não entendeu alguma etapa).