ALTERNATIVA CORRETA: D

Primeiramente, analisando a condição de existência da equação, veja que o lado direito é uma raiz quadrada, e esta é sempre positiva nos reais. Assim, o lado esquerdo tem que ser sempre positivo. Se garantirmos que:

𝑥² + 18𝑥 + 30 ≥ 0

Garantimos a existência de toda equação, até porque a expressão que está dentro da raiz é a mostrada acima somada com 15, o que continuará sendo positiva caso tenhamos a desigualdade acima. Vamos achar o intervalo para o qual a desigualdade acima é verdadeira. Primeiramente, achamos as raízes da equação:

𝑥² + 18𝑥 + 30 = 0 ⇒ Δ = 182 − 4 ⋅ 30 = 204

⇒ 𝑥 = −18 ± √20 / 2 = −9 ± √51

Portanto, para satisfazer a inequação acima afim de garantir existência da expressão, 𝑥 tem que estar fora do intervalo entre as raízes, ou seja:

𝑥 ≤ −9 − √51 ou 𝑥 ≥ −9 + √51

Garantida a existência da equação, chamemos 𝑥² + 18𝑥 + 30 = 𝑦 ≥ 0. Assim, a equação do enunciado é:

𝑦 = 2√𝑦 + 15

Elevando ambos os lados ao quadrado:

𝑦² = 4(𝑦 + 15) ⇒ 𝑦² − 4𝑦 − 60 = 0

Δ = 4² − 4 ⋅ (−60) = 16 + 240 = 256

⇒ 𝑦 = 4 ± √256 / 2 = 4 ± 16 / 2 = 10 ou − 6

Mas 𝑦 ≥ 0 ⇒ 𝑦 = 10. Portanto, a solução encontrada é que:

𝑥² + 18𝑥 + 30 = 10

⇒ 𝑥² + 18𝑥 + 20 = 0

O produto das soluções da equação, portanto, é 𝑐/𝑎 = 20, e a soma delas é − 𝑏/𝑎 = −18.