GABARITO: ALTERNATIVA B

Temos que 𝑧² = 5 + 12𝑖. Se z é um número complexo, ele pode ser escrito da forma 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, em que 𝑎 e 𝑏 são números reais. Substituindo:

𝑧² = 5 + 12𝑖 → (𝑎 + 𝑏𝑖)² = 5 + 12𝑖 → 𝑎² + 2𝑎𝑏𝑖 + 𝑏²𝑖² →

𝑎² − 𝑏² + 2𝑎𝑏𝑖 = 5 + 12𝑖

Como 𝑎 e 𝑏 são reais, podemos igualar a parte real da esquerda da equação acima à parte real da direita, e a parte imaginária da esquerda à parte imaginária da direita. Caímos, assim, no sistema:

Substituindo a primeira equação na segunda:

𝑎² − 36/𝑎² = 5

Multiplicando tudo por 𝑎²:

𝑎⁴ − 5𝑎² − 36 = 0

Caímos, assim, em uma equação do segundo grau do tipo 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, em que 𝑥 = 𝑎².

Aplicando Báskara:

Δ = 𝑏² − 4𝑎𝑐 = 5² − 4𝑥1𝑥36 = 169

Continuando a fórmula:

Como 𝑥 = 𝑎² e 𝑎 é real, temos que 𝑎² = −4 não é uma solução válida, pois implicaria em 𝑎 pertencente ao corpo dos complexos. Então, temos:

𝑎² = 9 → 𝑎 = 3 𝑜𝑢 𝑎 = −3

Substituindo os valores acima na equação obtida 𝑏 = 6/𝑎:

𝑏 = 6/3 𝑜𝑢 𝑏 = 6/−3 → 𝑏 = 2 𝑜𝑢 𝑏 = −2

Assim, temos as soluções:

Se z é do tipo 𝑎 + 𝑏𝑖, temos:

Por fim, a soma dos possíveis números complexos z₁ e z₂ é:

𝑧₁ + 𝑧₂ = 3 + 2𝑖 + (−3 − 2𝑖) = 0