GABARITO: ALTERNATIVA B.

Veja que 10ⁿ = 2ⁿ5ⁿ. Então seus divisores vão ser do tipo 2ˣ5ʸ, em que 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑛 e 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑛. Portanto, teremos (𝑛 + 1)² divisores.

Veja que o logaritmo na base 10 de um divisor será:

log₁₀ 2ˣ5ʸ = 𝑥 log₁₀ 2 + 𝑦𝑙𝑜𝑔₁₀5

Os logaritmos quando 𝑥, 𝑦 forem nulos serão todos nulos. Portanto, essas parcelas não serão contadas. Dado um 𝑥 fixo entre 1 e 𝑛 e variando os 𝑦 de 0 a 𝑛, teremos 𝑛 + 1 fatores 𝑥 log₁₀ 2 referentes aos logaritmos desses divisores. Fazendo isso para todos 𝑥, as parcelas dos logaritmos devido aos expoentes 𝑥 serão:

O mesmo pode ser feito na análise dos termos em 𝑦 (fixando 𝑦 entre 1 e n) e variando os 𝑥 de 0 a n, teremos 𝑛 + 1 fatores 𝑦 log₁₀ 5 referentes aos logaritmos desses divisores. Portanto, a soma desses fatores para todos os 𝑦 será:

Agora, somando esses termos, obtemos:

Portanto, por inspeção, como 𝑛 é inteiro, descobre-se 𝑛 = 11.