GABARITO: ALTERNATIVA C.

Chamando 𝑎 = ∛(13𝑥 + 37) e 𝑏 = ∛(13𝑥 − 37). Portanto, pelo enunciado:

𝑎 − 𝑏 = ∛2

⇒ (𝑎 − 𝑏)² = ∛4 ⇒ 𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏² = ∛4 ⇒ 𝑎² + 𝑏² = ∛4 + 2𝑎𝑏

Por outro lado, veja que:

𝑎³ − 𝑏³ = 13𝑥 + 37 − (13𝑥 − 37) = 74

Mas 𝑎³ − 𝑏³ = (𝑎 − 𝑏)(𝑎² + 𝑎𝑏 + 𝑏²) = ∛2⋅ (∛4 + 3𝑎𝑏). Logo:

∛2⋅ (∛4 + 3𝑎𝑏) = 74 ⇒ 2 + 3𝑎𝑏∛2 = 74 ⇒ 3𝑎𝑏∛2 = 72

⇒ 𝑎𝑏 = 24/∛2 = 24∛4 /2 = 12∛4

Multiplicando a primeira expressão 𝑎 − 𝑏 por 𝑎:

𝑎² − 𝑎𝑏 = ∛2𝑎 ⇒ 𝑎² − ∛2𝑎 − 12∛4 = 0

Calculando o Δ = ∛2² − 4 ⋅ (−12∛4) = 49∛4 ⇒ √Δ = 7∛2. Logo:

𝑎 = (∛2 ± 7∛2)/2 = 4∛2 ou − 3∛2

Se 𝑎 = 4∛2 ⇒ 𝑏 = 3∛2. Se 𝑎 = −3∛2 ⇒ 𝑏 = −4∛2. Assim, analisemos:

𝑎 = 4∛2 ⇒ ∛(13𝑥 + 37) = 4∛2 ⇒ 13𝑥 + 37 = 128

⇒ 13𝑥 = 91 ⇒ 𝑥 = 7

⇒ 𝑏³ = 13 ⋅ 7 − 37 = 54 ⇒ 𝑏 = 3∛2, 𝑂𝐾!

Assim, veja que 𝑥 = 7 é solução inteira. Agora analisando o outro caso:

𝑎 = −3∛2 ⇒ 𝑎³ = 13𝑥 + 37 = −54 ⇒ 13𝑥 = −91

⇒ 𝑥 = −7

⇒ 𝑏³ = 13𝑥 − 37 = −128 ⇒ 𝑏 = −4∛2, 𝑂𝐾!

Portanto, 𝑥 = −7 satisfaz a equação também. Logo, o módulo do produto das raízes é |−7 ⋅ 7| = 49, e a soma dos algarismos é 13.