A figura a seguir representa um tabuleiro muito grande, formado por quadradinhos de lado 1 cm, em que os números inteiros positivos são preenchidos em ordem crescente, começando pelo 1 e formando “camadas” em torno do 1, conforme mostrado na figura abaixo. A primeira camada é formada apenas pelo número 1, a segunda camada é formada pelos números de 2 até 9 e, imediatamente após completar a segunda camada, começa a terceira camada com o número 10 no quadradinho à esquerda do 9.
a) Qual é o último número da terceira camada?
Para calcular a distância do quadrado 1 até um quadrado N que não esteja na sua linha nem na sua coluna, podemos formar um triângulo com um lado horizontal, um lado vertical e o terceiro lado ligando o centro do quadrado 1 até o centro do quadrado N. Por exemplo, na figura à direita temos o triângulo que poderia ser usado para calcular a distância do quadrado 1 até o quadrado 12. Veja que ele possui vértices nos centros dos quadrados 1, 11 e 12. O lado horizontal mede 2 cm e o lado vertical mede 1 cm.
b) Determine os lados horizontal e vertical do triângulo que poderia ser usado para calcular a distância do quadrado 1 até o quadrado 33.
c) Determine os lados horizontal e vertical do triângulo que poderia ser usado para calcular a distância do quadrado 1 até o quadrado 2019.