GABARITO: ALTERNATIVA C

Veja que o triângulo 𝐷𝐵𝐶 é isósceles pois 𝐷𝐶 = 𝐵𝐶 = 1. Além disso, o triângulo 𝐴𝐵𝐶 é igual ao 𝐷𝐵𝐶, pois tem os lados 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 1 e o mesmo ângulo interno do pentágono em 𝐵, portanto, podemos afirmar que 𝐴𝐶 = 𝐷𝐵. Assim basta encontrarmos o valor de 𝐷𝐵.

Como o triângulo 𝐴𝐵𝐶 é isósceles, os ângulos ∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝐶𝐴𝐵. Os ângulos internos do pentágono valem 180(5−2)/5 = 540/5 = 108°. Portanto, ∠𝐴𝐵𝐶 = 108°. Assim, como a soma dos ângulos internos em 𝐴𝐵𝐶 é 180°:

∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐴𝐶𝐵 + ∠𝐶𝐴𝐵 = 180° ⇒ 2∠𝐶𝐴𝐵 = 72° ⇒ ∠𝐶𝐴𝐵 = 36° = ∠𝐴𝐶𝐵

Portanto, o ângulo ∠𝐷𝐶𝐴 = 108° − 36° = 72°. Claramente, a diagonal 𝐴𝐷 = 𝐴𝐶, pelos mesmos argumentos de 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷, o que implica que 𝐴𝐷𝐶 é isósceles e ∠𝐴𝐷𝐶 = 72°, que é o mesmo ângulo externo do vértice 𝐶. Portanto, 𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐶 ⇒ 𝐴𝐵𝐶𝐷 é um trapézio isósceles. Portanto, 𝐵𝐶𝑃 é semelhante ao triângulo 𝑃𝐴𝐷. Mas, como no Δ𝑃𝐴𝐷, temos 𝐴𝑃 = 𝑃𝐷 e no Δ𝑃𝐷𝐶, temos 𝑃𝐷 = 𝐶𝐷, então os lados 𝐴𝑃 = 𝑃𝐷 = 𝐶𝐷 = 1𝑐𝑚. Assim, analisando a semelhança entre 𝐵𝑃𝐶 𝑒 𝐴𝑃𝐷:

⇒ 𝑃𝐵 = −1 + √5/2

Assim, a diagonal: