GABARITO: ALTERNATIVA B.

Primeiramente iremos determinar os ângulos da figura.

Cálculo do ângulo interno do pentágono regular

𝑎ₙ = (180(𝑛−2))/𝑛 = (180(5−2))/5 = (180.3)/5 = 108°, ou seja o ângulo ABC mede 108°

Como o triângulo ABC é isósceles pois trata-se de um pentágono regular então os ângulos BAC e ACB terão a mesma medida, portanto cada um desses ângulos irá medir 36°.

Perceba que o mesmo irá ocorrer com o triângulo BCD, onde o ângulo BCD irá medir 108° por ser um ângulo interno do pentágono regular e os ângulos CBD e CDB irão medir 36°.

Observe agora, o triângulo BCP cujos ângulos CBP e PBC medem 36° e o ângulo BPC irá medir 108°.

Observe ainda que como ângulo BPC mede 108° o ângulo CPD irá medir 72° por ser o seu suplementar.

Perceba que com isso o ângulo PCD também irá medir 72°, ou seja, o triângulo CPD é um triângulo isósceles.

Analogamente, o mesmo irá ocorrer com o triângulo APB, também será isósceles com o ângulo PAB medindo 36° e os ângulos APB e ABP medindo 72° cada um.

Observe o esquema da figura abaixo com os ângulos determinados

Como o triângulo CDP é isósceles, então CD será igual ao lado DP e chamaremos esse lado de k, de acordo com o enunciado. Perceba que de maneira análoga o mesmo irá acontecer com o triângulo ABP que é congruente ao triângulo CDP.

Perceba também que os triângulos BPC e ABC são semelhantes pois todos os seus ângulos são correspondentemente iguais.

Pela semelhança teremos:

𝐵𝐶/𝐴𝐶 = 𝑃𝐶/𝐵𝐶 ⟹ 𝑘/(𝑘 + 𝑥) = 𝑥/𝑘 ⟹ 𝑘² = (𝑘 + 𝑥)𝑥 ⟹ 𝑘² = (𝑘 +𝑥)𝑥

⟹ 𝑘² = 𝑘𝑥 + 𝑥² ⟹ 𝑥² + 𝑘𝑥 − 𝑘² = 0 (resolvendo a equação do segundo grau, descobriremos o valor de x em função do lado do pentágono que chamamos de k.

∆ = 𝑘² − 4.1. (−𝑘²) ⟹ ∆= 5𝑘²

Portanto,

𝑥 = (−𝑘 ± √5𝑘²) / 2.1 = (−𝑘 ±𝑘√5)/2

Como o valor de 𝑥 não pode ser negativo então

𝑥 = (−𝑘 + 𝑘√5)/2

Como queremos saber o valor da diagonal de pentágono, perceba que sua diagonal irá medir 𝑘 + 𝑥.

Logo a diagonal será:

𝑘 + (−𝑘 +𝑘√5)/2 = (2𝑘 − 𝑘 + 𝑘√5)/2 = (𝑘 +𝑘√5)/2 = (𝑘(1 + √5))/2