GABARITO: ALTERNATIVA C.

Primeiramente iremos determinar os ângulos da figura.

Cálculo do ângulo interno do pentágono regular

𝑎ₙ = (180(𝑛−2))/𝑛 = (180(8−2))/8 = (180.6)/8 = 135°, ou seja o ângulo BCD mede 135°.

Como o triângulo BCD é isósceles pois trata-se de um octógono regular então, os ângulos CBD e CDB terão a mesma medida e cada um desses ângulos irá medir 22,5°.

Analogamente, o mesmo irá acontecer no triângulo EDF, pois eles são congruentes.

Aplicando a Lei dos cossenos no triângulo CBD teremos:

𝑥² = 𝑙² + 𝑙² − 2 ∙ 𝑙 ∙ 𝑙 ∙ 𝑐𝑜𝑠(135º) ⟹ 𝑥² = 2𝑙 − 2 ∙ 𝑙²∙ 𝑐𝑜𝑠(135°)

Lembre-se de que: Os ângulos de 135° e 45° são suplementares e por isso:

𝑐𝑜𝑠(135°) = −𝑐𝑜𝑠(45°)

Sendo assim temos:

𝑥² = 2𝑙² − 2 ∙ 𝑙²∙ [−𝑐𝑜𝑠(45°)] ⟹ 𝑥² = 2𝑙² +2𝑙²∙ 𝑐𝑜𝑠(45°)

⟹ 𝑥² = 2𝑙² +2𝑙² ∙ √2/2 ⟹ 𝑥² = 2𝑙² + √2𝑙² ⟹ 𝑥² = 𝑙²(2 +√2)

⟹ 𝑥 = √(𝑙²(2 +√2)) ⟹ 𝑥 = 𝑙√(2+ √2)

Como o triângulo BDF será um triângulo retângulo então, pelo Teorema de Pitágoras teremos:

(𝐵𝐹)² = 𝑥² + 𝑥²

Como 𝑥² = 2𝑙² +√2𝑙² então teremos que:

(𝐵𝐹)² = 2𝑙² + √2𝑙² + 2𝑙² + √2𝑙² = 4𝑙² +2√2𝑙² = 𝑙²(4 +2√2)

⟹ 𝐵𝐹 = √(𝑙²(4+ 2√2)) ⟹ 𝐵𝐹 = 𝑙√(4 + 2√2)