GABARITO: ALTERNATIVA C.

Pelas relações de Girard:

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = −3/1 = −3

Portanto, se chamarmos 𝑥 = ³√𝑎, 𝑦 = ³√𝑏, 𝑧 = ³√𝑐 então teremos:

𝑥³ + 𝑦³ + 𝑧³ = −3

Por outro lado, analisando o produto das raízes, teremos que:

𝑎⋅𝑏⋅𝑐=−1/1=−1⇒ ³√𝑎𝑏𝑐= ³√−1=−1

⇒ 𝑥 ⋅ 𝑦 ⋅ 𝑧 = −1

Portanto, veja que:

𝑥³ + 𝑦³ + 𝑧³ = 3𝑥𝑦𝑧

Mas isso é um resultado interessante, pois é fato que:

(𝑥+𝑦+𝑧)³ =𝑥³ +𝑦³ +3𝑥𝑦(𝑥+𝑦)+𝑧³ +3(𝑥+𝑦)𝑧(𝑥+𝑦+𝑧)

⇒(𝑥+𝑦+𝑧)³ =3𝑥𝑦𝑧+3𝑥𝑦(𝑥+𝑦)+6𝑥𝑦𝑧+3𝑥²𝑧+3𝑥𝑧² +3𝑦²𝑧+3𝑦𝑧²

⇒(𝑥+𝑦+𝑧)³ =3(𝑥+𝑦+𝑧)(𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧)

⇒(𝑥+𝑦+𝑧)[(𝑥+𝑦+𝑧)² −3(𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧)]=0

⇒(𝑥+𝑦+𝑧)[𝑥² +𝑦² +𝑧² −𝑥𝑦−𝑥𝑧−𝑦𝑧]=0

Portanto, a única solução possível acima é termos 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0, pois o outro fator é sempre maior ou igual a zero, uma vez que, pela desigualdade das médias:

𝑥² + 𝑦² ≥ 2𝑥𝑦

𝑦² + 𝑧² ≥ 2𝑦𝑧

𝑥² + 𝑧² ≥ 2𝑥𝑧

Somando todas:

𝑥² + 𝑦² + 𝑧² − 𝑥𝑦 − 𝑥𝑧 − 𝑦𝑧 ≥ 0

Como as raízes são todas distintas (pelo enunciado), a igualdade acima não vale, e teremos:

𝑥² + 𝑦² + 𝑧² − 𝑥𝑦 − 𝑥𝑧 − 𝑦𝑧 > 0

Logo, a única solução é termos 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = ³√𝑎 + ³√𝑏 + ³√𝑐 = 0