ALTERNATIVA CORRETA: A

Se dois eventos são independentes, então:

𝑃(𝑋|𝑌) = 𝑃(𝑋)

⇒ 𝑃(𝑋 ∩ 𝑌) / 𝑃(𝑌) = 𝑃(𝑋) ⇒ 𝑃(𝑋 ∩ 𝑌) = 𝑃(𝑋) ⋅ 𝑃(𝑌)

⇒ 𝑃(𝑋 ∩ 𝑌) = 1/4 ⋅ 1/3 = 1/12

Assim, pelo princípio da inclusão exclusão:

𝑃(𝑋 ∪ 𝑌) = 𝑃(𝑋) + 𝑃(𝑌) − 𝑃(𝑋 ∩ 𝑌) = 1/4 + 1/3 − 1/12 = 3/12 + 4/12 − 1/12 = 1/2

Além disso, sabemos que, pela Lei de De Morgan:

𝑋′ ∪ 𝑌′ = (𝑋 ∩ 𝑌)′

Isto é, o complementar da interseção. Portanto:

𝑃(𝑋′ ∪ 𝑌′) = 1 − 𝑃(𝑋 ∩ 𝑌) = 1 − 1/12 = 11/12

Por fim, lembremos que:

(𝑋′ ∩ 𝑌) ∪ (𝑋 ∩ 𝑌) = 𝑌

E que (𝑋′ ∩ 𝑌) = 𝑌 − 𝑋 é disjunto de 𝑋 ∩ 𝑌. Portanto, tomando a probabilidade em ambos os lados acima:

𝑃(𝑌) = 𝑃((𝑋′ ∩ 𝑌) ∪ (𝑋 ∩ 𝑌)) ⇒ 𝑃(𝑌) = 𝑃(𝑋′ ∩ 𝑌) + 𝑃(𝑋 ∩ 𝑌)

⇒ 1/3 = 𝑃(𝑋′ ∩ 𝑌) + 1/12 ⇒ 𝑃(𝑋′ ∩ 𝑌) = 1/3 − 1/12 = 4/12 − 1/12 = 3/12 = 1/4

⇒ 𝑃(𝑋′ ∩ 𝑌) = 1/4

Portanto, as respostas pedidas, em ordem, são: 1/2, 11/12 e 1/4