GABARITO: ALTERNATIVA D.

Observando o triângulo retângulo 𝐴𝐵𝐷 (pois o ângulo 𝐴𝐵̂𝐷 inscrito mede 90° pois enxerga o diâmetro), vemos que, pela relação métrica no triângulo retângulo, temos:

𝐴𝐷 ⋅ 𝐴𝐻 = 𝐴𝐵²

Chamando 𝐴𝐷 = 𝐴𝐶 + 𝐶𝐷 e 𝐵𝐻 = 2 ⋅ 𝐵𝑀 = 𝑥, então 𝐴𝐵² = 𝐴𝐻² + 𝑥². Daí:

(𝐴𝐶 + 𝐶𝐷)𝐴𝐻 = 𝐴𝐵² = 𝐴𝐻² + 𝑥²

⇒ (𝐴𝐶 + 𝐶𝐷)𝐴𝐻 = 𝐴𝐻² + 𝑥²

Como 𝐶𝐷 ⋅ 𝐴𝐻 = 27:

𝐴𝐶 ⋅ 𝐴𝐻 + 27 = 𝐴𝐻² + 𝑥² (𝐼)

Mas, por outro lado, olhando o triângulo retângulo 𝐴𝑀𝐶 (pois 𝐴𝑀̂𝐶 é reto pois é inscrito e enxerga o diâmetro 𝐴𝐶) veja que, pela mesma relação métrica (hipotenusa vezes projeção do cateto é igual ao cateto ao quadrado):

𝐴𝐶 ⋅ 𝐴𝐻 = 𝐴𝑀²

Mas por pitágoras: 𝐴𝑀² = 𝐴𝐻² + 𝑀𝐻², sendo que 𝑀𝐻 = 𝐵𝑀 = 𝑥/2. Logo:

𝐴𝐶 ⋅ 𝐴𝐻 = 𝐴𝐻² + 𝑥²/4 (𝐼𝐼)

Substituindo (𝐼𝐼) em (𝐼):

𝐴𝐻² + 𝑥²/4 + 27 = 𝐴𝐻² + 𝑥² ⇒ 𝑥² − 𝑥²/4 = 27 ⇒ 3𝑥²/4 = 27 ⇒ 𝑥² = 36

⇒ 𝑥 = √36 = 6 = 𝐵𝐻