GABARITO: ALTERNATIVA E

Para resolver essa questão, vamos contar com a ajuda da trigonometria.

Primeiro resultado:

Seja o triângulo Δ𝐴𝐵𝐶 abaixo, tal que o ângulo entre 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶 seja 𝛼.

Sua área é dada por:

Prova:

Basta traçar a altura relativa ao lado 𝐴𝐵, 𝐶𝐻. Olhe para o triângulo Δ𝐵𝐶𝐻 e veja que 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = 𝐶𝐻/𝐵𝐶 ⇒ 𝐶𝐻 = 𝐵𝐶𝑠𝑒𝑛(𝛼). Disso, temos que a área do triângulo Δ𝐴𝐵𝐶 é dada por:

Segundo resultado:

Seja o quadrilátero convexo 𝐴𝐵𝐶𝐷 abaixo de diagonais 𝐴𝐶 e 𝐵𝐷. Seja 𝐸 o ponto de intersecção das diagonais. Do primeiro resultado acima, podemos calcular a área de 𝐴𝐵𝐶𝐷 como sendo a soma das áreas dos triângulos Δ𝐴𝐸𝐷, Δ𝐷𝐸𝐶, Δ𝐶𝐸𝐵 𝑒 Δ𝐵𝐸𝐴.

Ou seja:

Mas 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = 𝑠𝑒𝑛(180° − 𝛼), do que temos que:

Agrupando os termos, temos:

Ou seja:

Na nossa questão, já temos as diagonais, precisamos do ângulo entre elas. Isso é fácil, pois uma das diagonais está sobre o eixo 𝑥 , isto é, o coeficiente angular da outra reta nos fornece a tangente do ângulo entre as diagonais.

Nesse caso, então, temos: 𝑡𝑔(𝛼) = −4/3 ⇒ 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = 4/5. Temos ainda: 𝐴𝐶 = 4 e 𝐵𝐷 = 6. Por fim:

Observação: É bastante útil memorizar as expressões demonstradas na resolução dessa questão!