GABARITO: ALTERNATIVA A

Se a reta tangente 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 tem inclinação de 𝜋/4, então seu coeficiente angular é:

Portanto, sua equação é da forma 𝑦 = 𝑥 + 𝑏. Precisamos achar os 𝑏’s tais que essa reta seja tangente à elipse citada. Para isso, iremos fazer a interseção da reta com a elipse e aplicar a condição de tangência: solução única do sistema, que vai implicar em discriminante nulo da equação de segundo grau que vai aparecer.

Substituindo 𝑦 = 𝑥 + 𝑏 na equação da elipse (isso é, algebricamente, a interseção da reta com a elipse):

𝑥² −𝑥 + 𝑦(2𝑦 + 1) = 0 ⇒ 𝑥² − 𝑥 + (𝑥 + 𝑏)(2𝑥 + 2𝑏 + 1) = 0

⇒ 3𝑥² + 4𝑏𝑥 + 𝑏(2𝑏 + 1) = 0

O discriminante precisa ser nulo para que haja solução única em 𝑥:

Δ = (4𝑏)² − 4 ⋅ 3 ⋅ 𝑏(2𝑏 + 1) = 0

⇒ 16𝑏² − 24𝑏² − 12𝑏 = 0

⇒ −4𝑏(2𝑏 + 3) = 0

Veja, então que os valores de 𝑏 que tornam a reta 𝑦 = 𝑥 + 𝑏 tangente a elipse são:

𝑏 = 0 ou 𝑏 = − 3/2

Logo, as retas são 𝑦 = 𝑥 e 𝑦 = 𝑥 − 3/2. A distância entre elas pode ser calculada pela distância de um ponto de uma à outra. Veja que a origem (0,0) pertence à 𝑦 = 𝑥. Assim, basta calcular a distância de (0, 0) à reta 𝑦 − 𝑥 + 3/2 = 0, usando a fórmula de distância de ponto (𝑥₀, 𝑦₀) à reta 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0: