GABARITO: Elipse

Sem perda de generalidade, consideremos a seguinte figura que representa o problema:

A͞D e B͞E são as retas tangentes à circunferência tangente à reta 𝑟 no ponto 𝐶. Para simplificar os cálculos, consideramos a reta 𝑟 como a reta coincidente com o eixo das abcissas. Sabendo que a equação de uma reta é

𝑦 − 𝑦₀ = 𝑚(𝑥 − 𝑥₀)

Temos para a reta A͞D:

Para a reta B͞E:

A interseção da reta A͞D e a reta B͞E é o ponto 𝑃(𝑥, 𝑦). Igualando as equações das retas, temos:

(𝑥 + 𝑎) ⋅ 𝑡𝑔(2𝛼) = (𝑥 + 𝑏) ⋅ 𝑡𝑔(2𝛽) (𝑒𝑞.𝐼𝐼𝐼)

Pela figura, vemos que:

𝑡𝑔𝛼 = 𝑅/𝑎 e 𝑡𝑔𝛽 = 𝑅/𝑏

Pelas relações trigonométricas, temos:

Substituindo os valores encontrados na 𝑒𝑞.𝐼:

Como 𝑏 ≠ 𝑎, temos:

Substituindo o valor de 𝑥 na equação 𝐼, obtemos:

Simplificando:

Escrevendo 𝑅² em função de 𝑥:

Substituindo em 𝑦:

Portanto, o lugar geométrico dos pontos que satisfazem às condições do problema é uma elipse.