GABARITO:

A cônica pode ser escrita em sua forma reduzida:

9𝑥² − 4𝑦² = 36 ⇔ 𝑥²/4 − 𝑦²/9 = 1

Assim, temos que o semieixo real 𝑎 e o semieixo imaginário 𝑏 são dados por:

𝑎² = 4 ⇒ 𝑎 = 2

𝑏² = 9 ⇒ 𝑏 = 3

Com esses dados, podemos calcular o valor da semidistância focal:

𝑐² = 𝑎² + 𝑏² ⇒ 𝑐² = 4 + 9 = 13 ⇒ 𝑐 = ±√13

Como a cônica possui centro na origem e é da forma

𝑥²/𝑎² − 𝑦²/𝑏² = 1

Podemos afirmar que seus focos estão no eixo 𝑥, logo:

𝐹₁ = (−√13, 0)

𝐹₂ = (√13, 0)

𝐹 é o foco da cônica mais próximo ao ponto 𝐴. Como 𝐴 está localizado no primeiro quadrante do plano cartesiano, temos que 𝐹 deve ser igual a 𝐹₂.

𝐹 = (√13, 0)

Vamos esboçar o gráfico para visualizar a situação:

Resta encontrar o ponto 𝐵. Para isso, devemos encontrar a equação da reta 𝑟 normal à 𝐶. Sabendo que o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto (𝑥, 𝑦) é dado por:

Então, aplicando-se a derivada na equação da hipérbole, obtemos:

Para obter o coeficiente angular da reta 𝑟, podemos usar a seguinte relação:

Como 𝐴 é um ponto da reta 𝑟, temos:

A forma geral de uma reta é:

𝑦 − 𝑦₀ = 𝑚(𝑥 − 𝑥₀)

Conhecemos o coeficiente angular o coeficiente angular de 𝑟 e 𝐴 é um ponto pertencente à reta, assim, sua equação é dada por:

𝐵 é um ponto do eixo das abcissas, logo,

Desse modo:

Esboço do gráfico:

A área do Δ𝐴𝐵𝐹 é igual a: