GABARITO: ALTERNATIVA B

Queremos contar todos os pares distintos de arestas reversas que existem em um cubo. Observe um cubo genérico abaixo:

1) Vamos contar primeiramente todos os pares de arestas reversas que possuem uma das arestas na face superior do cubo (EFGH).

Primeiramente, considere os pares que já contém a aresta FE. As arestas que são reversas a FE são apenas: AD,CB,HD e GC. Portanto, temos aqui já 4 pares de retas reversas.

Observe que, quando formos fazer o mesmo procedimento acima para as demais arestas da face superior (EH,HG e GF), iremos encontrar também 4 pares de arestas reversas distintos para cada uma. Não vai haver repetição, pois as arestas da face superior estão todas no mesmo plano). Logo, temos até então:

4 ⋅ 4 = 16 pares distintos de arestas reversas

Todos os 16 pares contados acima são todos aqueles que contém as arestas da face superior. Precisamos ainda contar as demais.

2) Agora, vamos contar os pares que contém arestas verticais (EA,FB,HD GC) mas que não podem conter arestas da face superior (pois esses pares já foram contados).

Para fazer isso, escolhemos a aresta EA e contaremos as arestas reversas a ela (que não são da face superior). São elas: DC e CB. Portanto, temos 2 pares aqui. Se fizermos o mesmo com as demais arestas verticais (FB,HD GC), contaremos o mesmo número de pares para cada (2), e não haverá repetições, pois as arestas verticais são todas paralelas entre si (não são reversas). Portanto, para este caso, teremos:

4 ⋅ 2 = 8 pares distintos de arestas reversas

Por último faltaria contar os pares de arestas reversas que não possuem arestas nem da face superior nem arestas verticais. Mas se anularmos todas essas arestas, sobrariam apenas as da face inferior do cubo, que estão todas no mesmo plano. Ou seja, não existem pares de retas reversas nesse caso.

Isso significa que já contamos todas os pares distintos de retas reversas. No total, temos:

16 + 8 = 24 pares