GABARITO: ALTERNATIVA D.

As palavras que buscamos possuem o formato:

_E_A_E_

Onde, em cada “_” acima, tem de haver pelo menos uma letra. Sejam x₁, x₂, x₃ e x₄ o número de letras em cada intervalo “_” acima na palavra, em ordem. Perceba que x₂≥1 e x₃≥1 para os casos que nos interessam. Sabemos também que as letras restantes da palavra MERCANTE sem EEA são {M, R, C, N, T}. Portanto:

Assim, para encontrarmos as soluções não negativas tal que de x₂≥1 e x₃≥1 em (1), basta encontrarmos as soluções não negativas de (2), que é um resultado conhecido:

Portanto, temos 20 maneiras distintas de alocarmos letras nos espaços “_” de maneira que vogais não sejam vizinhas. E, para cada distribuição fixa, podemos permutar as demais 5 letras distintas nas 5 posições de 5!=120 maneiras distintas e podemos permutar as três vogais em suas 3 posições com a repetição de 2 E’s, de (3!)/(2!)=3 maneiras distintas. Assim, pelo princípio multiplicativo, temos: