GABARITO: 𝟒𝟐𝟗

Seja um eneágono de vértices 𝑃₁ 𝑃₂, … , 𝑃₉. Então, seja o lado 𝑃₁𝑃₂ de um eneágono, assim, podemos formar triângulos com os vértices 𝑃₃, 𝑃₄, … , 𝑃₉, sendo que cada um desses triângulos divide o eneágono em dois. Conforme se observa na figura a seguir:

Além disso, suponha que o número de maneiras de dividir o eneágono como pedido no enunciado é dado por 𝑀₉. Contudo, quando dividimos o eneágono por meio de um triângulo podemos dividir a região à direita e à esquerda de 𝑀𝑖 e 𝑀𝑗 maneiras.

Então, conectando três vértices, temos:

1) Lado 𝑃₁𝑃₂ conectado com 𝑃₃: 𝑀₂ ⋅ 𝑀₈ possibilidades;

2) Lado 𝑃₁𝑃₂ conectado com 𝑃₄: 𝑀₃ ⋅ 𝑀₇ possibilidades;

3) Lado 𝑃₁𝑃₂ conectado com 𝑃₅: 𝑀₄ ⋅ 𝑀₆ possibilidades;

6) Lado 𝑃₁𝑃₂ conectado com 𝑃₈: 𝑀₇ ⋅ 𝑀₃ possibilidades;

7) Lado 𝑃₁𝑃₂ conectado com 𝑃₉: 𝑀₈ ⋅ 𝑀₂ possibilidades;

Logo, temos:

𝑀₉ = 𝑀₂ ⋅ 𝑀₈ + 𝑀₃ ⋅ 𝑀₇ + 𝑀₄ ⋅ 𝑀₆ + ⋯ + 𝑀₇ ⋅ 𝑀₃ + 𝑀₈ ⋅ 𝑀₂

Contudo, podemos ver que 𝑀₂ = 1 e 𝑀₃ = 1, e, analogamente, podemos escrever:

𝑀₄ = 𝑀₂ ⋅ 𝑀₃ + 𝑀₃ ⋅ 𝑀₂ = 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 = 2

𝑀₅ = 𝑀₂ ⋅ 𝑀₄ + 𝑀₃ ⋅ 𝑀₃ + 𝑀₄ ⋅ 𝑀₂ = 2 + 1 + 2 = 5

𝑀₆ = 𝑀₂ ⋅ 𝑀₅ + 𝑀₃ ⋅ 𝑀₄ + 𝑀₄ ⋅ 𝑀₃ + 𝑀₅ ⋅ 𝑀₂ = 5 + 2 + 2 + 5 = 14

𝑀₇ = 𝑀₂ ⋅ 𝑀₆ + 𝑀₃ ⋅ 𝑀₅ + 𝑀₄ ⋅ 𝑀₄ + 𝑀₅ ⋅ 𝑀₃ + 𝑀₆ ⋅ 𝑀₂ = 14 + 5 + 4 + 5 + 14 = 42

𝑀₈ = 42 + 14 + 10 + 10 + 14 + 42 = 132

𝑀₉ = 132 + 42 + 28 + 25 + 28 + 42 + 132 = 429

Logo, temos 𝑀9 = 429 maneiras de dividir o eneágono.