GABARITO: ALTERNATIVA C.

Observe a seguinte figura:

Onde 𝐴𝐶 = 4 𝑒 𝐵𝐷 = 6. Seja 𝑝 o perímetro desse quadrilátero.

Aplicando a desigualdade triangular aos triângulos 𝐵𝐷𝐶 𝑒 𝐵𝐴𝐷, temos:

𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 > 𝐵𝐷 𝑒 𝐵𝐴 + 𝐴𝐷 > 𝐵𝐷 ⇒ 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐵𝐴 + 𝐴𝐷 > 2𝐵𝐷 = 12

Ou seja:

𝑝 > 12

Por outro lado, observe a seguinte construção:

Construímos o quadrilátero 𝑀𝑁𝑃𝑄, de modo que 𝑀𝑁∥𝐴𝐶∥𝑄𝑃 e 𝑀𝑄∥𝐵𝐷∥𝑁𝑃.

Logo, temos que 𝑀𝑁𝑃𝑄 é um paralelogramo e 𝑀𝑁=𝑄𝑃=𝐴𝐶=4e 𝑀𝑄=𝑁𝑃=𝐵𝐷=6.

Aplicando a desigualdade triangular ao:

Δ𝐴𝑀𝐵:𝑀𝐵+𝑀𝐴>𝐴𝐵

Δ𝐴𝑄𝐷:𝐴𝑄+𝑄𝐷>𝐴𝐷

Δ𝐷𝑃𝐶:𝐷𝑃+𝑃𝐶>𝐶𝐷

Δ𝐶𝐵𝑁:𝐶𝑁+𝑁𝐵>𝐵𝐶

Somando as desigualdades membro a membro:

𝑀𝐵+𝑁𝐵+𝑀𝐴+𝐴𝑄+𝑄𝐷+𝐷𝑃+𝑃𝐶+𝐶𝑁>𝑝

Ou ainda:

𝑀𝑁+𝑄𝑃+𝑀𝑄+𝑁𝑃>𝑝⇒20>𝑝

Do que temos que:

20 > 𝑝 > 12

A única possibilidade, dentre as alternativas, é 𝑝 = 15.