Questão sobre PG infinita de razão negativa. Ela nos dá o valor de dois somatórios. Sabemos que a soma de uma PG infinita é dada por:

𝑎₁ é o primeiro termo da PG e 𝑞 é sua razão.

Vamos verificar o primeiro somatório dado na questão:

𝑎₁ + 𝑎₆ + 𝑎₁₁ + ⋯ = 8

(𝑎₁, 𝑎₆, 𝑎₁₁, … ) é uma PG. Precisamos descobrir a nova razão dessa PG para aplicar a fórmula.

Podemos escrever 𝑎6 em função de 𝑎₁ e 𝑟:

𝑎₆ = 𝑎₁𝑟⁵

Sabemos que a forma de uma PG é a sequência (𝑎₁, 𝑎₁𝑟′, 𝑎₁𝑟′², … )

Então a razão da PG (𝑎₁, 𝑎6, 𝑎₁₁, … ) é 𝑟′ = 𝑟⁵.

A soma dessa PG é dada por:

Para o segundo somatório temos:

Encontramos as seguintes equações:

Vamos dividir (𝐼𝐼) por (𝐼) para sumir o termo 𝑎₁:

Ainda estudaremos equações de potenciação nas próximas aulas. Por enquanto saiba que quando a incógnita está na forma 𝑥²ᵏ, devemos considerar os valores positivos e negativos como soluções da equação. Pois se 𝑥 é solução de 𝑥²ᵏ, (−𝑥) também será. Veja: (𝑥ᵏ)(𝑥ᵏ) = (−𝑥ᵏ)(−𝑥ᵏ) = 𝑥²ᵏ.

O enunciado afirma que 𝑟 < 0. Então:

𝑟 = −√2/2

Substituindo 𝑟 em (𝐼) para encontrar 𝑎₁:

Essas operações serão explanadas na aula de Potenciação e Radiciação.

− (−√2/2)⁵

Quando o termo está elevado a um número ímpar, podemos extrair o sinal negativo para fora da potência. Veja:

(−𝑥)²ᵏ ⁺ ¹ = (−𝑥)²ᵏ (−𝑥)¹ = 𝑥²ᵏ (−1)𝑥 = (−1)𝑥²ᵏ ⁺ ¹

Dessa forma:

Podemos simplificar desse modo:

Sabemos o valor de 𝑎₁ e 𝑟. A soma pedida na questão é dado pela fórmula:

Vamos simplificar:

Gabarito: 𝑺 = 𝟏𝟒 − 𝟔√2