GABARITO: ALTERNATIVA D

Como (𝐴, 𝐵, 𝐶) formam uma PG nessa ordem, podemos escrever:

𝐵² = 𝐴𝐶

O enunciado dá informações a respeito da característica e da mantissa dos logaritmos. A primeira coisa que devemos lembrar é que a característica de um logaritmo é a parte inteira do seu valor e a mantissa é a parte fracionária.

O enunciado diz que:

log(𝐴) = 𝐶 + 𝑀

log(𝐵) = 𝑋 + 𝑀

log(𝐶) = 𝑀

Não sabemos qual é a característica de log(𝐵), podemos extrair essa informação da PG:

𝐵² = 𝐴𝐶

Aplicando o log na equação acima:

log(𝐵²) = log(𝐴𝐶) ⇒ 2 log(𝐵) = log(𝐴) + log(𝐶)

Substituindo os valores dos logaritmos:

2(𝑋 + 𝑀) = 𝐶 + 𝑀 + 𝑀 ⇒ 2𝑋 = 𝐶 ⇒ 𝑋 = 𝐶/2

Como a característica de 𝐶 é zero, temos que 𝐶 é um número entre 1 e 10. Além disso, 𝑋 deve ser um número natural, logo 𝐶 deve ser um número par, as possibilidades são:

𝐶 ∈ {2; 4; 6; 8}

O enunciado diz que 𝑀 = log(𝐶) possui o maior valor possível, logo, 𝐶 = 8.

Com isso, temos:

log(𝐶) = log(8) = log(2³) = 3 ⋅ log(2)

O valor do log(2) é aproximadamente 0,3, logo:

𝑀 ≅ 3 ⋅ 0,3 = 0,9

Queremos saber o valor da mantissa do log(𝐴𝐵𝐶):

log(𝐴𝐵𝐶) = log(𝐴) + log(𝐵) + log(𝐶)

Usando 2 log(𝐵) = log(𝐴) + log(𝐶):

Devemos notar que a mantissa do log(𝐴𝐵𝐶) está no número 2,7 e ele é resultado de 3𝑀, ou seja, 3𝑀 = 2,7 = 2 + 0,7 ⇒ 3𝑀 − 2 = 0,7.

Portanto, a mantissa do log(𝐴𝐵𝐶) é 0,7 = 3𝑀 − 2.