GABARITO: ALTERNATIVA C

Veja que 𝑎ᵢ = 𝑎₁ + (𝑖 − 1)𝑟, em que 𝑟 pode ser obtido por 𝑟 = 𝑎₂ − 𝑎₁ = 12 − 3 = 9. Logo:

𝑎ᵢ = 3 + 9(𝑖 − 1)

Já 𝑏ᵢ = 𝑏₁𝑞ᶦ⁻¹, onde 𝑞 pode ser obtido por 𝑞 = 𝑏₂/𝑏₁ = 12/3 = 4. Logo:

𝑏ᵢ = 3 ⋅ 4ᶦ⁻¹

Queremos que 𝑎ᵢ divida 𝑏ᵢ, ou seja, que:

Como 4ᶦ⁻¹ ≥ 1 + 3(𝑖 − 1) para qualquer 𝑖 natural, então basta que o denominador seja potência de 2 (2ˣ) para que 𝑛 seja natural. Assim, como 𝑖 ≥ 1 ⇒ 𝑥 ≥ 0. Portanto, como queremos que:

2ˣ = 1 + 3(𝑖 − 1)

Como o maior valor de 𝑖 é 200 (pelo fato das sequências terem 200 elementos), então:

2ˣ ≤ 1 + 3 ⋅ 199 = 598

Portanto, veja que a maior potência de 2 menor que 598 é 29. Assim, 1 ≤ 𝑥 ≤ 9.

Vemos que essa potência de 𝑥 deve ser tal que 2ˣ deixe resto 1 na divisão por 3. Vejamos todas:

20 = 1 → 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 1

21 = 2 → 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 2

22 = 4 → 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 1

23 = 8 → 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 2

24 = 16 → 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 1

25 = 32 → 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 2

26 = 64 → 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 1

27 = 128 → 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 2

28 = 256 → 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 1

29 = 512 → 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 2

Portanto, os únicos valores possíveis são os que deixam resto 1, isto é: 1, 4, 16, 64 e 256. Para cada um desses 5 valores de 2ˣ haverá uma solução em 𝑖 natural.

Portanto, são apenas 5 pares (𝑎ᵢ, 𝑏ᵢ) tais que 𝑎i divide 𝑏i quando 𝑖 varia de 1 a 200.