GABARITO: ALTERNATIVA D

Supondo que as idades dos irmãos em ordem crescente são: x, y, z, w, temos:

𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 ∗ 𝑤 = 180

𝑥 ∗ 𝑦∗ 𝑧 ∗ 𝑤 = 180 = 2² ∗ 3² ∗ 5

As possibilidades para as idades são:

{1,2,3,4,5,6,9,10, 12,15,18,20,30,36,45,60,90,180}.

Como o mais velho tem menos de 12 anos, diminuímos esse conjunto para

{1,2,3,4,5,6,9,10}

Observe que 𝑤𝑤 ≥ 4, já que é a maior idade e todas são distintas.

Se queremos que a soma das idades seja máxima com x<y<z<w devemos ter:

1) Para w=10, temos

𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 = 18 ⇨

𝑥 = 1, 𝑦 = 3, 𝑧 = 6 OU 𝑥 = 1, 𝑦 = 2, 𝑧 = 9

2) Para 𝑤 = 9, temos

𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 = 20 ⇨

𝑥 = 1, 𝑦 = 4, 𝑧 = 5

3) Para 𝑤 = 6, temos

𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 = 30 ⇨

𝑥 = 1, 𝑦 = 5, 𝑧 = 6

4) Para 𝑤 = 5, temos

𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 = 36

Nesse caso, não há solução com 𝑥 < 𝑦 < 𝑧 < w

5) Para 𝑤 = 4, temos

𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 = 45

Nesse caso, não há solução com 𝑥 < 𝑦 < 𝑧 < 𝑤.

Portanto, a soma será máxima para:

𝑥 = 1, 𝑦 = 2, 𝑧 = 9, 𝑤 = 10

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 1 + 2 + 9 + 10 = 22

Gabarito: D