GABARITO: Hipérbole de excentricidade √2

Solução 1) Representando a figura do enunciado, temos:

C͞M é a bissetriz interna do triângulo 𝐴𝐵𝐶, a questão afirma que ela é paralela à reta 14𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0, logo, a reta C͞M deve possuir o mesmo coeficiente angular:

14𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 ⇒ 𝑦 = 7𝑥 + 1/2 ⇒ 𝑚 = 7

Assim, o coeficiente angular da reta C͞M é:

A reta C͞M é dada por:

𝑦 = 7(𝑥 − 𝑘)

Logo:

𝑘 = 𝑥 − 𝑦/7

Aplicando o teorema da bissetriz interna, temos:

Elevando ao quadrado:

Substituindo o valor de 𝑘:

Como 𝑦 ≠ 0, temos:

Fazendo a rotação de modo a eliminar o termo misto, temos:

Encontrando as soluções:

Vamos usar 𝑡𝑔𝜃 = 3/4, aplicando a transformação de coordenadas:

cos 𝜃 = 4/5 e 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 3/5

Portanto, temos a equação de uma hipérbole equilátera. Logo, sua excentricidade é

𝑒 = √2

Solução 2) Para facilitar a resolução da questão, podemos utilizar uma rotação do eixo de coordenadas em torno do ponto A. Para isso, tomemos o eixo y’ como paralelo à reta que é a bissetriz fornecida no enunciado e o eixo x’ é perpendicular a y’ passando no ponto A.

Definimos também o ponto Z(c,0) como o encontro entre a reta s e o eixo x’. Devemos observar que a reta r é altura e bissetriz no triângulo ABZ, portanto, é também mediana do lado AZ, como mostrado no desenho.

O ponto C desejado é o encontro das retas r e s.

Primeiramente, vamos calcular as coordenadas do ponto B nesse novo sistema de coordenadas. Note que a mera rotação do eixo de coordenadas não altera a distância AB = 10. Além disso, as projeções de B formam um triângulo retângulo que possui um dos ângulos como o arco tangente de 1/7.