GABARITO: ALTERNATIVA B

Sejam 𝑟₁ e 𝑟₂ as raízes comuns aos dois e seja 𝑟₃ uma raiz somente de 𝑃(𝑥) e seja 𝑟₄ uma raiz somente de 𝑄(𝑥).

Das relações de Girard, podemos escrever:

𝑟₁𝑟₂𝑟₃ = −18 𝑒 𝑟₁𝑟₂𝑟₄ = −12

Dividindo as equações acima membro a membro, obtemos:

Aplicando Girard em 𝑄(𝑥) temos que:

𝑟₁ + 𝑟₂ + 𝑟₄ = 0 ⇒ 𝑟₁ + 𝑟₂ = −𝑟₄

Aplicando Girard em 𝑃(𝑥), temos que:

Antes de continuar, note que os polinômios possuem coeficientes reais e grau 3, ou seja, eles têm pelo menos uma raiz real.

Suponha então que eles compartilhem uma raiz real. Do enunciado, temos que eles devem compartilhar outra raiz.

Se essa outra raiz for real, então todas as raízes do polinômio são reais.

Se ela for complexa, então ambos deverão ter o conjugado dessa raiz como raiz, ou seja, os polinômios deveriam ter as três raízes iguais, o que é absurdo, visto que possuem coeficientes distintos.

Suponha agora que eles compartilhem uma raiz complexa. Logo, a outra raiz compartilhada deve ser seu conjugado. Disso resulta que a raiz restante (𝑟3 ou 𝑟4) deve ser real.

Essa discussão nos permite afirmar que, em todo caso, 𝑟3 𝑒 𝑟4 devem ser reais. Assim, podemos resolver a equação abaixo como sendo:

𝑟₄³ = −8 ⇒ 𝑟₄ = −2

Além disso:

𝑟₃ = 3/2 ∙ (−2) = −3

Das relações de Girard, temos que:

−𝑎 = 𝑟₁ + 𝑟₂ + 𝑟₃

Mas tínhamos que:

𝑟₁ + 𝑟₂ = −𝑟₄ = −(−2) = 2

Do que resulta:

−𝑎 = 2 − 3 = −1 ⇒ 𝑎 = 1

Por outro lado, também das relações de Girard, temos que:

𝑟₁𝑟₂ + (𝑟₁ + 𝑟₂)𝑟₄ = 𝑏

Mas tínhamos que:

𝑟₁𝑟₂ = − 12/𝑟₄ = − 12/−2 = 6

Ou seja:

6 + 2 ∙ (−2) = 𝑏 ⇒ 𝑏 = 2

Por fim: 𝑏 = 2𝑎.