GABARITO: ALTERNATIVA E

Seja 𝑝(𝑥) o polinômio dado. Se ele é uma função par, então temos que:

𝑝(𝑥) = 𝑝(−𝑥)

Ou seja:

(𝑎 + 2𝑏 + 𝑐)𝑥⁴ + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑥³ − (𝑎 − 𝑏)𝑥² + (2𝑎 − 𝑏 + 𝑐)𝑥 + 2(𝑎 + 𝑐)

= (𝑎 + 2𝑏 + 𝑐)𝑥⁴ − (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑥³ − (𝑎 − 𝑏)𝑥² − (2𝑎 − 𝑏 + 𝑐)𝑥 + 2(𝑎 + 𝑐)

Que implica:

2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑥³ + 2(2𝑎 − 𝑏 + 𝑐)𝑥 = 0𝑥³ + 0𝑥 = 0

Como vale para todo 𝑥, a igualdade polinomial nos permite escrever que:

(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = 0 𝑒 (2𝑎 − 𝑏 + 𝑐) = 0

Isolando 𝑎 𝑒 𝑐 em função de 𝑏, temos:

𝑎 = 2𝑏 𝑒 𝑐 = −3𝑏

Assim, o polinômio fica:

𝑝(𝑥) = 𝑏𝑥⁴ − 𝑏𝑥² − 2𝑏 = 𝑏(𝑥⁴ − 𝑥² − 2)

Queremos as soluções de 𝑥⁴ − 𝑥² − 2 = 0. Faça 𝑥² = 𝑦. Do que temos:

𝑦² − 𝑦 − 2 = 0

Resolvendo para 𝑦, obtemos 𝑦 = 2 ou 𝑦 = −1. Ou seja:

𝑥² = 2 ⇒ 𝑥 = ±√2

𝑥² = −1 ⇒ 𝑥 = ±𝑖

Seu conjunto solução é, portanto:

𝑆 = {±√2, ±𝑖}

A soma do módulo de suas raízes é:

|√2| + |−√2| + |𝑖| + |−𝑖| = 2√2 + 2 = 2(√2 + 1)