ALTERNATIVA CORRETA: B

Primeiramente, analisemos a divisão de 𝑝(𝑥) por 𝑥 − 1:

𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)𝑞₁(𝑥) + 2

Assim, substituindo 𝑥 = 1:

𝑝(1) = 2

Agora, analisemos a divisão de 𝑝(𝑥) por 𝑥² + 1:

𝑝(𝑥) = (𝑥² + 1)𝑞₂(𝑥) + 2𝑥 − 1

Veja que para 𝑥 = ±𝑖, 𝑥² + 1 = 0, logo:

𝑝(𝑖) = 2𝑖 − 1

𝑝(−𝑖) = −2𝑖 − 1

Agora, analisando a divisão de 𝑝(𝑥) por (𝑥 − 1)(𝑥² + 1), sabemos que o resto é, no máximo de 2º grau (resto sempre tem grau menor que o grau do divisor, que nesse caso é 3):

𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥² + 1)𝑞₃(𝑥) + 𝑟(𝑥)

Substituindo 𝑥 = 1:

𝑝(1) = 𝑟(1) ⇒ 𝑟(1) = 2

𝑥 = 𝑖:

𝑝(𝑖) = 𝑟(𝑖) ⇒ 𝑟(𝑖) = 2𝑖 − 1

𝑥 = −𝑖:

𝑝(−𝑖) = 𝑟(−𝑖) ⇒ 𝑟(𝑖) = −2𝑖 − 1

Agora vamos usar esses resultados aplicando o fato do nosso 𝑟(𝑥) ser da forma 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, com seus coeficientes todos reais:

Das segunda e terceira equações, igualando as partes reais e imaginárias, teremos que 𝑏 = 2 e que 𝑐 − 𝑎 = −1. Substituindo na primeira:

𝑎 + 2 + 𝑎 − 1 = 2 ⇒ 2𝑎 − 1 = 0 ⇒ 2𝑎 = 1 ⇒ 𝑎 = 1/2

Portanto, 𝑐 = 𝑎 − 1 = 1/2 − 1 = − 1/2. Portanto, a soma dos quadrados dos coeficientes é:

𝑎² + 𝑏² + 𝑐² = 1/2² + 1/2² + 2² = 1/2 + 4 = 9/2