Primeiramente, perceba o seguinte:

𝑃(𝑥) = 𝑥⁵ − 3𝑥⁴ + 10𝑥³ − 30𝑥² + 81𝑥 − 243 = 𝑥⁵ − 3𝑥⁴ + 10𝑥³ − 30𝑥² + 81𝑥 − 3⁵ = 𝑥⁵ − 3⁵ − 3𝑥(𝑥³ − 3³) + 10𝑥² (𝑥 − 3)

Ou seja:

𝑃(3) = 3⁵ − 3⁵ − 3 ∙ 3 ∙ (3³ − 3³) + 10 ∙ 3² ∙ (3 − 3) = 0

Já temos, então, uma de suas raízes: 𝑥 = 3.

Outra forma de perceber que 3 é sua raiz, é usar as informações que ele forneceu. Seja 𝑟 a sua raiz real, então, as suas raízes complexas são da forma:

𝑟𝑐𝑖𝑠(𝜃), −𝑟𝑐𝑖𝑠(𝜃), 𝑟𝑐𝑖𝑠(−𝜃) 𝑒 − 𝑟𝑐𝑖𝑠(−𝜃)

Onde 𝑐𝑖𝑠(𝜃) = cos(𝜃) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝜃).

Das relações de Girard, temos que:

𝑟𝑐𝑖𝑠(𝜃) ∙ (−𝑟𝑐𝑖𝑠(𝜃)) ∙ 𝑟𝑐𝑖𝑠(−𝜃) ∙ (−𝑟𝑐𝑖𝑠(−𝜃)) ∙ 𝑟 = 𝑟⁵𝑐𝑖𝑠(𝜃 + 𝜃 − 𝜃 − 𝜃) = 𝑟⁵𝑐𝑖𝑠0 = 𝑟⁵ = 243

Como 𝑟 ∈ ℝ, temos que 𝑟⁵ = 243 = 3⁵ ⇒ 𝑟 = 3.

Vamos usar o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir 𝑃(𝑥) por (𝑥 − 3):

Dessa forma, temos:

𝑃(𝑥) = (𝑥 − 3)(𝑥⁴ + 10𝑥² + 81)

Queremos encontrar as raízes de 𝑃(𝑥) = 0, ou seja, falta encontrar as raízes de 𝑥⁴ + 10𝑥² + 81 = 0.

Para isso, faça 𝑦 = 𝑥².

𝑦² + 10𝑦 + 81 = 0

Que resolvendo para 𝑦, resulta em 𝑦 = −5 ± 2𝑖√14.

Disso, temos duas possibilidades:

1ª possibilidade: 𝑥² = −5 + 2√14𝑖

2ª possibilidade: 𝑥² = −5 − 2√14𝑖

Portanto, suas raízes são:

Gabarito: